1.0Tudományhttps://tudomany.cafeblog.huJangulihttps://tudomany.cafeblog.hu/author/janguli/<div><span>Az előző rész <a href="http://tudomany.blog.hu/2018/03/03/csakany_bela_a_masodik_triumviratus_ii" target="_blank" rel="noopener noreferrer">itt olvasható</a>.</span></div> <div><span></span></div> <div><span>A kutatás </span><span>mindhármuk számára szenvedély, munka és élvezet volt. Azt a fajta örömet, amelyet a sikeres kutatómunka nyújt, mindenki átélheti, aki kedve szerint való munkával keresi a kenyerét, és tapasztalja, hogy embertársai nagyrabecsülik hoz­záértéséért. Mégis kevesekből lesz tudós, mert az ókori böl­csesség ma is áll: a matematikához - és általában a tudomány­hoz - nem vezet királyi út. Ezért nem is próbálkozom azzal, hogy az algebrába meg a funkcionálanalízisbe az eddig mon­dottaknál alaposabb betekintést nyújtsak. Kalmár László mate­matikai munkásságáról azonban valamivel részletesebb kép vázolható fel, mint Rédei és Sz.-Nagy Béla életművéről. <span style="color: #800000">Kal­már matematikájának zöme ugyanis az informatika alapjaihoz tartozik.</span> Márpedig az informatika nem a számtanból, hanem az imént említett logikából nőtt ki, s a logika elemei akarva-­akaratlan már gyermekkorunkban ránkragadnak. Az informa­tika emblematikus munkaeszközével, a számítógéppel pedig ma azok is megtanulnak bánni, akik a matematikában nem kí­vánnak messzebb jutni a százalék- és kamatszámításnál. Előké­szítésül ejtsünk néhány szót arról, hol tartott a logika 1930 tá­ján.</span></div> <div><span><span style="color: #800000">Hilbert a századfordulón döntő lépést tett a matematika és a logika szintézise irányában azáltal, hogy Euklidesz több mint kétezer éves geometriai alapigazságait (axiómáit) és követ­keztetéseit teljes matematikai szigorúsággal újrafogalmazta, és támadhatatlanná tette.</span> Ettől kezdve megindult diadalútján az axiomatikus módszer. Ennek az a lényege, hogy a matema­tika vizsgálandó területének alapfogalmaira olyan axiómákat mondunk ki, amelyek igaz volta nem kérdőjelezhető meg, s minden további igazságot ezekből az axiómákból vezetünk le a formális logika szabályainak alkalmazásával. (A geometriá­nak egyik ilyen axiómája pl. az, hogy bármely két különböző ponton egyetlen egyenes megy át, a számelméleté meg pl. az, hogy különböző egész számok után nem következhet ugyan­az az egész szám.) <span style="color: #800000">Formális logikán itt nem az arisztoteleszi lo­gikát, hanem a belőle a huszadik századra sok kiváló tudós (köztük a filozófus Bertrand Russell) által kifejlesztett tudo­mányt, a matematikai logikát értjük: A húszas években senki sem kételkedett az axiomatikus módszer mindenhatóságában.</span> Maga Hilbert 1930-ban büszkén mondta, mintegy válaszként honfitársa, Du Bois-Reymond híres Ignoramus et ignorabi­mus szavaira: "Wir müssen wissen, wir werden wissen!" </span></div> <div><span><span style="color: #800000">1931 azonban a matematikában is a válság éve volt. Kurt Gödel (1906-1978) osztrák matematikus ekkor bizonyította be, hogy ha axiómáknak egy rendszere egyáltalán használható, akkor csupán a benne szereplő alapfogalmak segítségével meg lehet fogalmazni olyan állítást, amely az axiómákból a matematikai logika segítségével nem vezethető le, de nem is cáfolható meg. A matematikai logika látványosan demonstrálta erejét: felfedezte saját korlátait!</span></span></div> <div><span><img src="http://m.blog.hu/tu/tudomany/image/redei_szokefalvi_kalmar.jpg" alt="redei_szokefalvi_kalmar.jpg" class="imgnotext" /></span></div> <div style="text-align: center"><small><span>Szemben Rédei László, balján Csákány Béla</span></small></div> <div><span></span></div> <div><span>Kalmár, fellelkesülve Hilbert és Gödel eredményein, az ún. <span style="color: #800000">eldöntésprobléma kutatásához fogott.</span> Lássuk, mi is ez a prob­léma! Olyan értelmes mondatokból, amelyek igazsága eldönt­hető (pl.: "esik az eső", "süt a nap"), tisztán logikai úton, azaz logikai jelentésű kötő- és tagadószavak ("és", "vagy", "nem") felhasználásával újabb értelmes mondatok származtathatók, pl. "esik az eső és süt a nap", "nem esik az eső", stb. Az így ke­letkező mondatokat rövidítésekkel is felírhatjuk, ha a kiindu­lási mondatokat és a logikai jelentésű szavakat kezdőbetűjük­kel helyettesítjük, akkor az "esik-az eső vagy nem esík az eső"' mondat röviden így fest: (E) V (NE). Ez a mondat története­sen mindig igaz, mert harmadik lehetőség nincs - az, hogy "lóg az eső lába", nem harmadik lehetőség, mert az azt jelenti; hogy nem esik. Vegyük észre, hogy ebben a mondatban E, az­az "esik az eső" helyett akármit írhatunk, akkor is igaz lesz, hi­szen az igaz; hogy bármely eldönthető igazságú mondat vagy igaz, vagy nem igaz. Megállapíthatjuk tehát, hogy (E) V (NE) korlátlanul igaz. Az (E) V (NE) "mondat" láthatóan hasonlít egy szokásos matematikai képlethez, ezért felvetődhet az öt­let, hogy talán van olyan általános érvényű eljárás, amellyel ki­számítható minden hasonló (csak esetleg sokkalta bonyolul­tabb) "logikai képletről", hogy korlátlanul igaz-e. A logikai képletekkel való számolást ítéletkalkulusnak nevezik. A felve­tett ötlet jó, ilyen eljárás tényleg létezik, s ezt a tényt szaknyel­ven úgy fejezik ki, hogy az ítéletkalkulus eldöntésproblémája megoldható. Az eldöntésprobléma központi kérdés a mate­matikai logikában, megoldása segítségével ugyanis bármely logikai következtetésről eldönthető, hogy korrekt-e.</span></div> <div><span>Engedjük meg ezután, hogy mondatainkban az említett lo­gikai szavakon kívül a "minden" és "van olyan" szavak is elő­fordulhassanak (lásd áz arisztoteleszi logika klasszikus példa­mondatát: "minden ember halandó"). Ilyen mondatokból ki­indulva egy bonyolultabb logikai rendszer épül fel, amelyet függvénykalkulusnak neveznek. Az előző gondolatmenetet új­ból végiggondolva megkérdezhetjük: a függvénykalkulus el­döntésproblémája megoldható-e?</span></div> <div><span>Hilbert követőjeként Kalmár egy ideig abban reményke­dett, hogy a válasz "igen", s kereste az ehhez szükséges eljá­rást. Logikai képletek jó néhány fajtájára meg is találta, elő­adást is tartott erről 1932-ben a zürichi matematikai világ­kongresszuson. Ám a remények nem teljesültek. <span style="color: #800000">Alonzo Church amerikai logikus 1936-ban bebizonyította, hogy nem létezik olyan számítógép-program, amellyel a függvénykalku­lus bármely logikai képletéről kiszámítható lenne, hogy kor­látlanul igaz-e.</span> Ezen a ponton az olvasó joggal húzza fel a sze­möldökét, mondván: <span style="color: #800000">"Számítógép-program? Hol voltak még a számítógépek 1936-ban?" Valóban, a gyakorlatban még nem léteztek, de elméletileg éppen 1936-ban születtek meg Alan Turing angol logikus agyában.</span> Church nem számítógép-prog­ramról írt, hanem rekurzív függvényről, amely fogalmat azon­ban nem kell elmagyaráznom (nem is lenne könnyű), mert gyorsan - még a számítógépek tényleges megkonstruálása előtt - kiderült, hogy "rekurzív függvénnyel kiszámítható" pontosan azt jelenti, mint "számítógéppel kiszámítható".</span></div> <div><span>Kedves olvasóm ismét replikázhat: "Na és! Church tétele akkor sem jelenti azt, hogy az eldöntésprobléma megoldhatat­lan! Ha nincs is olyan számítógép-program, amellyel a függ­vénykalkulus bármely logikai képletéről ki lehetne számítani, korlátlanul igaz-e, attól még létezhet másfajta módszer, amellyel ezt ki lehet számítani!" Aki így gondolkozik, most dőljön hátra elégedetten székében, mert Kalmár is így gon­dolkozott. Csakhogy ez ellentétben van a szakemberek közfel­fogásával, amely szerint "ami egyáltalán kiszámítható, az szá­mítógéppel is kiszámítható". Ezt az aforizma-szerű mondatot Church-Turing-tézisnek nevezik. Tézisnek és nem tételnek, mert a matematikában tételt csak pontosan meghatározott fo­galmakra vonatkozóan lehet bizonyítani, márpedig az "egyál­talán kiszámítható" nem pontosan meghatározott fogalom. <span style="color: #800000">Kalmár talán a legismertebb azok között, akik nem hisznek a Church-Turing-tézisben - ezt Douglas R. Hofstadter írta róla a hetvenes években egy nagyon nagy könyvben, a számítógép­kultúra bibliájában.</span> (Magyarul: D. R. Hofstadter, Gödel, Es­cher, Bach, Typotex, 1998.) </span></div> <div><span><img src="http://m.blog.hu/tu/tudomany/image/godel-escher-bach.jpg" alt="godel-escher-bach.jpg" class="imgnotext" width="299" height="449" /></span></div> <div><span>Abogyan bizonyítani, úgy megcá­folni sem lehet a Church-Turing-tézist matematikai eszközök­kel. Kalmár nem is erre törekedett. Előadásaiban, cikkeiben arra mutatott rá, hogy a Church-Turing-tézis elfo­gadása olyan következésekre vezet, amelyek, ha formailag nem is cáfolhatók, a józan ész számára nehezen elképzelhe­tők. Ezáltal szembehelyezkedett a számítógépek mindenhatóságába vetett hit alaptételével. Ő volt az egyetlen, aki ezt nem­zetközi konferenciákon is megtehette, hiszen tudták róla, hogy ugyancsak ő az, aki bámulatosan rövid bizonyítást talált Gödel tételére, és megmutatta, hogy Church tétele is benne rejlik Gödel tételében. Valójában Kalmár nem abban kételke­dett, hogy számítógéppel minden kiszámítható. Ő azt nem volt hajlandó elhinni, hogy elméletileg sem lehet emberalkot­ta szerkezet nagyobb dolgokra képes, mint a 20. század dere­kán már már ismert "ketyerék" (ez szegedi tájnyelvi szó a szá­mítástechnikai eszközökre). Félreértés ne essék, manapság egy jobb szerver teljesítménye milliószorosa a hősi időkről szólva említett M3-énak, de azért elvileg a mai gépek is Tu­ring-gépek! Kalmárt az eltelt negyedszázad nem igazolta te­hát, de nem is cáfolta meg. Általánosabban fogalmazva, Kal­már abban hitt, hogy nincs befejezett matematika, nem létez­het véglegesen lezárt tudomány. Ahogyan ezt az integrál fo­galma iránt érdeklődő makói orvos-barátjának küldött 40 ol­dalas [!] levelében írta: "...éppen az a szép a matematikában, hogy magán viseli az emberi alkotás minden bizonytalansá­gát".</span></div> <div><span>A tudományra vonatkozó beszámolóba kívánkozik egy ér­dekes történet egy negyedik szegedi professzorról, aki ma már a szegedi egyetem tiszteletbeli doktora, egyébként pedig "túl a nagy óceánon" a Yale Egyetemnek, és a Microsoft kuta­tóközpontjának vezető tudósa. Nem hagyható említés nélkül Sz.-Nagy Béla szerepe abban, hogy Budapestről Szegedre köl­tözött Lovász László, aki igen termékeny szegedi évei alatt lett professzor, majd a Magyar Tudományos Akadémia tagja. En­nek hosszú előzményei voltak. 1953-ban hunyt el Szőkefalvi Nagy Gyula, aki de facto a geometriai tanszéket vezette. Azért kívánkozik ide ez a két latin szó, mert az egyetem irataiból nem derül ki teljes bizonyossággal, hogy mely években léte­zett, s melyekben nem létezett itt hivatalosan geometriai tan­szék. A helyi tanárok és diákok számára azonban a geometriai tanszék léte és működése mindig természetes tény volt. A kö­vetkező két évtizedben számos próbálkozás történt a tanszék betöltésére. Kitűnő helyi és budapesti tanárok - egyben ered­ményes kutatók - tartották a geometria előadásokat, de egyi­kükből sem lett tanszékvezető. Ez lényegében azon múlt, hogy <span style="color: #800000">Sz.-Nagy Béla, aki Rédei Pestre költözése után a geomet­ria oktatását irányította, édesapja egykori tanszékének vezeté­sére minden szempontból kiemelkedő, Szegedre költözni is hajlandó tudóst szeretett volna megnyerni. Az első támadha­tatlan lehetőség erre 1975-ben kínálkozott, Lovász László sze­mélyében. Igaz, Lacinak is volt egy nagy hibája: abban az idő­ben még csak 27 éves volt.</span> Ismeretes azonban, hogy matema­tikusnál és lírai költőnél a fiatalság - ha zsenialitással párosul - magasan többet érhet, mint az évtizedek szülte tapasztalat. Tudta ezt Leindler László akkori dékán, az ötletgazda, és Sz.-Nagy professzor is, akinek az ötlet tetszett, hiszen Lovász már egyetemistaként kandidátus lett, s huszonhét éves korára vi­lághírűvé vált, ráadásul a matematika több területén is alko­tott. Csak arról kellett meggyőződni, hogy Lovász jó előadó-e. Meghívták hát egy próbaelőadásra. Ezén az előadáson nem­csak az derült ki, hogy Lovász tényleg kitűnő előadó. Az elő­adás témája legalább ennyire alkalmas volt arra, hogy megfog­ja Sz.-Nagy Béla szívét. A történet megérdemli, hogy részlete­sebben is beszéljünk róla.</span></div> <div><span>Karl-Friedrich Gauss, minden idők egyik legnagyobb mate­matikusa vetette fel a következő kérdést. Vegyünk egy önma­gába visszatérő zárt görbe vonalat, egyszerűség kedvéért egy elég hosszú madzagot, amelynek két vége össze van kötve. Ha ezt először fellógatjuk, majd leejtjük az asztalra, akkor ez a görbe vonal - azaz madzag - rendszerint néhány helyen átha­lad önmaga fölött (illetve alatt). Induljunk ki egy pontjából, és menjünk végig gondolatban a madzagon. Minden olyan pont­ját, ahol önmagát keresztezi, jelöljük meg az ábécé egy-egy különböző betűjével, s írjuk fel külön is ezt a betűt. Persze, előbb-utóbb visszajutunk olyan ponthoz, amelyet már megbe­tűztünk, ezt és az utána következőket ne betűzzük ugyan újra, de betűiket továbbra is írjuk föl, mindaddig, amíg kiindulási pontunkhoz vissza nem érünk. Ilyen módon egy betűsoroza­tot írunk fel, pl.: ABCADECDBE. Ezt nevezzük a tekintett gör­be vonal Gauss-kódjának. Nézzünk rá egy ilyen sorozatra, s döntsük el csak a sorozatot vizsgálva (tehát minden madzag nélkül), vajon létrejöhet-e madzagból, azaz görbe vonalból az előbb elmondott módon. (Szaknyelven: létezik-e olyan görbe, amelynek ez a sorozat a Gauss-kódja). A kérdés nehéznek bi­zonyult: sem Gauss, sem az utána következő évszázad mate­matikusai tudtak módszert adni eldöntésére. A probléma megoldásában először Szőkefalvi Nagy Gyula ért el részered­ményt, s ezt 1927-ben publikálta is. A teljes megoldást Lovász adta meg. Erről tartotta szegedi bemutatkozó előadását. Nem­csak a megoldás, a siker is teljes volt. Sz.-Nagy Béla meggyőző­dött róla, hogy méltó ember kerül Sz. Nagy Gyula tanári szé­kébe.</span></div> <div><span>Hogyan becsülte meg tudományáért Szeged három nagy elméjét a nagyvilág, az ország, a város? Rédeit a Német Leo­poldina Akadémia tagjává választotta, s távozása után saját egyeteme is díszdoktorrá fogadta. Kalmár 1997-ben nagy posztumusz elismerésben részesült. A villamosmérnökök amerikai székhelyű világszervezete, az Institute of Electrical and Electronic Engineers - rövid nevén "Ájtriplí" - Compu­ter Pioneer Award elnevezésű kitüntetésében részesítette, az elsők egyikeként Közép-Európa keleti végein. Szőkefalvi­-Nagy Béla három külföldi egyetem (Drezda, Turku és Borde­aux) díszdoktorsága után a szegedi egyetemtől is megkapta ezt az elismerést, emellett három külföldi akadémia (a szov­jet, az ír és a finn) választotta tiszteleti tagjává. Ő háromszor kapott Kossuth- illetve Állami díjat, de nem kevesebb örö­met szerzett számára az a megbecsülés sem, amelyben váro­sa részesítette: a Szegedért Alapítvány fődíját elsőként kapta meg, s 1991-ben a város díszpolgára lett.</span></div> <div><span>Eredményes kutató nem maradhat távol a tudományos közélettől. Rédei sem tehette ezt, de kollégáihoz képest ke­vés szerepléssel úszta meg. Hallása ugyanis az évtizedek so­rán fokozatosan romlott, s ezt mindenki tudta. Ez nem volt egyértelműen hátrányos számára: kényelmetlen kérdésekre nem kellett azonnal válaszolnia, unalmas üléseken saját gon­dolataiba mélyedhetett. Az Akadémia, a szakmai szervezet (a Bolyai Társulat), az egyetemi kar és az intézet életében részt vett, feladatokat is kapott, de mindezt a legkisebb mérték­ben sem ambicionálta. Kalmár és Sz.-Nagy Béla ellenben fá­radhatatlanul küzdött céljaiért, amelyekhez gyakran hegye­ket kellett (vagy kellett volna) megmozgatniuk. Sz.-Nagy Bé­la meghatározó egyénisége, mondhatnánk erős embere volt a hazai matematikai életnek (egyébként fizikumra is erős volt). A legfontosabb tudományos bizottságokban elnökölt. Tekintélyével próbált békét teremteni az egymással szembe­nálló szakmai csoportosulások között. (Ilyenek, mi tagadás, a matematikai közéletben is voltak; hála a második triumvirá­tusnak, nem Szegeden.) Ezzel a tevékenységével nem vívta ki az ellenfelek rokonszenvét, de tudományos súlya miatt ki­kezdhetetlen maradt. Kalmár nem válogatott a bizottságok­ban: fénykorában emlékezetem szerint egyidejűleg több mint 50 testületben és bizottságban szolgált. Minden kezde­ményezéshez csatlakozott, amelyet a matematikai és számí­tástudományi kultúra szempontjából érdekesnek tartott. Sz.-Nagy Béla elvi keménységétől eltérően Kalmár hajlékonyab­ban képviselte ügyét. A sok ülés miatt kutatásra gyakran alig maradt ideje. Ezt tükrözte Pollák György tréfás jellemzése Kalmárról: "az aktivitás lojális mártírja", meg a szakmai kö­rökben akkortájt elterjedt közmondás: "Nincsen ankét Kal­már nélkül!".</span></div>rich