{"version":"1.0","provider_name":"Tudom\u00e1ny","provider_url":"https:\/\/tudomany.cafeblog.hu","author_name":"Janguli","author_url":"https:\/\/tudomany.cafeblog.hu\/author\/janguli\/","title":"M\u00f6bius, Escher, Bach","html":"<p align=\"left\"><span> Mit tudunk August Ferdinand M\u00f6bius (1790.11.17. - 1868.09.26) n\u00e9met matematikusr\u00f3l?<\/span><\/p>\n<p align=\"left\"><span>El\u0151sz\u00f6r alkalmazta az analitikus m\u00f3dszereket a projekt\u00edv geometri\u00e1ban. Szer\u00e9nys\u00e9ge miatt csak jelent\u00e9ktelen csillag\u00e1szk\u00e9nt \u00e9lte le \u00e9let\u00e9t.\u00a0<\/span><span>Mikor 68 \u00e9ves kor\u00e1ban bek\u00fcldte az egyoldal\u00fa fel\u00fclet geometri\u00e1j\u00e1r\u00f3l sz\u00f3l\u00f3 \u00e9rtekez\u00e9s\u00e9t a Francia Akad\u00e9mi\u00e1nak, nem volt szerencs\u00e9je: sok m\u00e1s m\u0171vel egy\u00fctt ez is \u00e9vekig porosodott az Akad\u00e9mia valamelyik fi\u00f3kj\u00e1ban. V\u00e9g\u00fcl is maga a szerz\u0151 adta ki.<\/span><\/p>\n<p align=\"left\"><span>F\u0151 \u00e9rdekl\u0151d\u00e9si ter\u00fclete a geometria volt. 1828-ban jelent meg \"A baricentrikus sz\u00e1m\u00edt\u00e1s\" c\u00edm\u0171 k\u00f6nyve, amelyben igen sok \u00faj geometriai gondolat volt: bevezette a projekt\u00edv transzform\u00e1ci\u00f3 fogalm\u00e1t, a baricentrikus, avagy s\u00falypont szerinti\u00a0koordin\u00e1t\u00e1kat, a v\u00e9gtelen t\u00e1voli elemeket, tov\u00e1bb\u00e1 \u00faj szempontok szerint oszt\u00e1lyozta a fel\u00fcleteket \u00e9s g\u00f6rb\u00e9ket. Nev\u00e9t a M\u00f6bius-f\u00e9le sz\u00e1melm\u00e9leti f\u00fcggv\u00e9ny is viseli.<\/span><\/p>\n<p align=\"left\"><span>A <\/span><span>M\u00f6bius-szalag<\/span><span> <\/span><span>k\u00e9tdimenzi\u00f3s fel\u00fclet, amelynek k\u00fcl\u00f6nlegess\u00e9ge, hogy csak egyetlen oldala \u00e9s egyetlen \u00e9le van.<\/span><\/p>\n<p align=\"left\" style=\"text-align: center\"><span><img src=\"http:\/\/m.blog.hu\/tu\/tudomany\/image\/mobiusweddingband.JPG\" alt=\"mobiusweddingband.JPG\" class=\"imgnotext open-in-modal\" width=\"555\" height=\"299\" style=\"margin-left: auto;margin-right: auto\" \/><\/span><small><span>A M\u00f6bius-szalag alak\u00fa jegygy\u0171r\u0171k az egys\u00e9get szimboliz\u00e1lj\u00e1k a h\u00e1zass\u00e1gban<\/span><\/small><\/p>\n<h2>M\u00f6bius-szalag k\u00e9sz\u00edt\u00e9si m\u00f3djai<\/h2>\n<p>A szalagot k\u00f6nnyen elk\u00e9sz\u00edthetj\u00fck egy pap\u00edrcs\u00edkb\u00f3l, ha v\u00e9geit \u00f6sszeragasztjuk \u00fagy, hogy az egyiket 180\u00b0-kal elford\u00edtjuk. Az egyoldal\u00fas\u00e1gr\u00f3l \u00fagy gy\u0151z\u0151dhet\u00fcnk meg, ha egy ceruz\u00e1val hosszir\u00e1nyban a k\u00f6zep\u00e9n cs\u00edkot h\u00fazunk: \u00edgy vissza kell jutnunk oda, ahonnan elindultunk, bej\u00e1rva az eredeti szalag mindk\u00e9t oldal\u00e1t.<\/p>\n<p>Tov\u00e1bbi \u00e9rdekess\u00e9g, hogy ha kett\u00e9v\u00e1gjuk az im\u00e9nt eml\u00edtett vonal ment\u00e9n, egy, az eredeti szalagn\u00e1l k\u00e9tszer hosszabb (fele olyan sz\u00e9les), imm\u00e1r k\u00e9toldal\u00fa fel\u00fcletet kapunk. Ha m\u00e9g egyszer hasonl\u00f3 m\u00f3don k\u00f6rbev\u00e1gjuk, akkor k\u00e9t egym\u00e1sba fon\u00f3d\u00f3 szalag lesz az eredm\u00e9ny. Ha h\u00e1rom r\u00e9szre v\u00e1gjuk, akkor k\u00e9t egym\u00e1sba fon\u00f3d\u00f3 szalagot kapunk: az egyik ism\u00e9t egy M\u00f6bius-szalag lesz, a m\u00e1sik egy k\u00e9tszer olyan hossz\u00fa, k\u00e9tszer csavart szalag.<\/p>\n<p>A hasonl\u00f3an p\u00e1ratlan sz\u00e1mszor csavart szalagok darabol\u00e1sa hasonl\u00f3 \u00e9rdekes eredm\u00e9nyt ad. P\u00e9ld\u00e1ul a h\u00e1romszor 180 fokosan csavarod\u00f3 szalag kett\u00e9v\u00e1g\u00e1s\u00e1val <em>l\u00f3herecsom\u00f3t<\/em> kapunk. A v\u00e9geredm\u00e9nyk\u00e9nt kapott csavarod\u00e1sok sz\u00e1ma kisz\u00e1m\u00edthat\u00f3 a k\u00f6vetkez\u0151 egyenletb\u0151l: 2<i>N<\/i> + 2 = <i>M<\/i>, ahol <i>N<\/i> a csavarod\u00e1sok eredeti sz\u00e1ma, \u00e9s <i>M<\/i> a csavarod\u00e1sok kapott sz\u00e1ma. A M\u00f6bius-szalaghoz hasonl\u00f3an a p\u00e1ratlan sz\u00e1mszor csavart szalagoknak egy \u00e9l\u00fck \u00e9s egy oldaluk van. A p\u00e1ros sz\u00e1mszor csavartak ellenben k\u00e9t oldal\u00faak \u00e9s k\u00e9t \u00e9l\u0171ek.<\/p>\n<p>A sz\u00e1m\u00edt\u00f3g\u00e9pes grafik\u00e1ban \u00edgy is lehet M\u00f6bius-szalagot konstru\u00e1lni:<\/p>\n<ul>\n<li>V\u00e9gy egy t\u00e9glalap alak\u00fa szalagot<\/li>\n<li>Forgasd meg egy olyan pont k\u00f6r\u00fcl, ami nincs vele egy s\u00edkban<\/li>\n<li>Minden egyes l\u00e9p\u00e9sben forgasd meg a k\u00f6r\u00fcl a vele egys\u00edk\u00fa egyenes k\u00f6r\u00fcl, ami kett\u00e9v\u00e1gja a szalagot, \u00e9s mer\u0151leges az alapk\u00f6r sugar\u00e1ra<\/li>\n<li>Ha \u00edgy megtett\u00e9l egy teljes fordulatot, akkor a t\u00e9glalap egy M\u00f6bius-szalagot s\u00farolt v\u00e9gig.<\/li>\n<\/ul>\n<h2>M\u00f6bius \u00e9s a gr\u00e1fok<\/h2>\n<p>A gr\u00e1felm\u00e9letben a gr\u00e1fok egy Mn speci\u00e1lis oszt\u00e1lya szint\u00e9n M\u00f6biusr\u00f3l kapta a nev\u00e9t. Ezek egy p\u00e1ros n pontsz\u00e1m\u00fa k\u00f6rb\u0151l sz\u00e1rmaztathat\u00f3k a szemben fekv\u0151 cs\u00facsok \u00f6sszek\u00f6t\u00e9s\u00e9vel. Nev\u00e9t onnan kapta, hogy az M6 = K3,3 kiv\u00e9tel\u00e9vel Mn n\/2 n\u00e9gysz\u00f6get tartalmaz, amelyek egym\u00e1shoz csatlakozva M\u00f6bius-szalagot form\u00e1lnak (McSorley 1998). Ezt a gr\u00e1foszt\u00e1lyt el\u0151sz\u00f6r Richard K. Guy \u00e9s Frank Harary tanulm\u00e1nyozta (1<span>967).<\/span><\/p>\n<h2>M\u00f6bius, Escher, Bach<\/h2>\n<p>M. C. Escher<span> sz\u00e1mos metszete alapul rajta.<\/span><span><\/span><span>\u00a0<img src=\"http:\/\/m.blog.hu\/tu\/tudomany\/image\/escher_mobius_szalag_madarakkal.gif\" alt=\"escher_mobius_szalag_madarakkal.gif\" class=\"imgnotext\" \/><\/span><\/p>\n<p><span>Douglas R. Hofstadter\u00a0<\/span>ut\u00f3lag egy Bach-m\u0171vet is kapcsolatba hoz a M\u00f6bius-szalaggal.<\/p>\n<p>1747-ben Bach tal\u00e1lkozott a porosz Nagy Frigyessel. Frigyes megmutatta Bachnak az \u00faj pianofort\u00e9kat, \u00e9s adott egy f\u00fagat\u00e9m\u00e1t is, melyre a zeneszerz\u0151 h\u00e1romsz\u00f3lam\u00fa f\u00fag\u00e1t improviz\u00e1lt. Ekkor Frigyes azt mondta, hogy emelj\u00e9k a t\u00e9teket, legyen a f\u00faga hatsz\u00f3lam\u00fa. Bach beleegyezett, de azt k\u00e9rte, hadd kompon\u00e1lja meg el\u0151sz\u00f6r. K\u00e9t h\u00f3nappal a kir\u00e1llyal val\u00f3 tal\u00e1lkoz\u00e1s ut\u00e1n elk\u00e9sz\u00fclt a\u00a0<em>Musikalisches Opfer<\/em>.<\/p>\n<p>A kir\u00e1ly \u00e1ltal adott t\u00e9m\u00e1t (<em>Thema regnum<\/em>) dolgozta fel Bach a \"r\u00e1k k\u00e1non\"-ban, amely ak\u00e1r egy M\u00f6bius-szalagra is felrajzolhat\u00f3. A k\u00e1non t\u00e9m\u00e1ja egyszerre hangzik el \u00fagy, hogy az egyik sz\u00f3lam az elej\u00e9r\u0151l, a m\u00e1sik pedig a v\u00e9g\u00e9r\u0151l kezdi a t\u00e9m\u00e1t. Ha M\u00f6bius-szalagra \u00edrjuk a kott\u00e1t, akkor mindig a szalag \"k\u00e9t oldal\u00e1n\" l\u00e9v\u0151 hangjegyek sz\u00f3lnak egyszerre.\u00a0Ezt szeml\u00e9lteti a video:<\/p>\n<p style=\"text-align: center\"><iframe width=\"600\" height=\"365\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/xUHQ2ybTejU\" frameborder=\"0\"><\/iframe><\/p>\n<p>\u00a0<\/p>","type":"rich"}