{"version":"1.0","provider_name":"Tudom\u00e1ny","provider_url":"https:\/\/tudomany.cafeblog.hu","author_name":"Janguli","author_url":"https:\/\/tudomany.cafeblog.hu\/author\/janguli\/","title":"Matt a matematik\u00e1nak?","html":"

A racion\u00e1lis elme hat\u00e1ra<\/strong><\/span><\/p>\n

Jakabffy \u00c9va, IPM 2006. m\u00e1rcius<\/p>\n

Brian Davies<\/span> <\/strong>matematikus-filoz\u00f3fusnak a mai matematika v\u00e1ls\u00e1gair\u00f3l \u00edrt cikke \u2013 melynek c\u00edme: Merre tart a matematika?<\/em> \u2013 m\u00e1r azel\u0151tt nagy port vert fel, miel\u0151tt m\u00e9g egy tekint\u00e9lyes szaklapban megjelent volna. Nem v\u00e9letlen\u00fcl: a matematika v\u00e1ls\u00e1gai t\u00e9ma sokkal nagyobb h\u00edr\u00e9rt\u00e9kkel rendelkezik, mint a matematika b\u00e1rmely sikere. Mi\u00e9rt is? Az\u00e9rt, mert a matematika a laikusok szem\u00e9ben megd\u00f6nthetetlen \u00e9s biztos b\u00e1stya. Ennek oka els\u0151sorban a matematikai iskol\u00e1z\u00e1s, ez ugyanis olyan k\u00e9pletekre tan\u00edt, amelyekben nem ildomos k\u00e9telkedni \u2013 ellenben nem sok sz\u00f3 esik a matematikat\u00f6rt\u00e9net h\u00edres paradoxonjair\u00f3l, vagy pl\u00e1ne v\u00e1ls\u00e1gair\u00f3l. Ez a fajta iskola m\u00e9g mindig azt a 19. sz\u00e1zadi elk\u00e9pzel\u00e9st pl\u00e1nt\u00e1lja a nemzed\u00e9kekbe, hogy a matematika a megk\u00e9rd\u0151jelezhetetlen igazs\u00e1got testes\u00edti meg.<\/p>\n

De mi\u00e9rt ker\u00fclhet v\u00e1ls\u00e1gba a matematika? Az\u00e9rt, mert fejl\u0151dik. \u00c9s ahogy fejl\u0151dik, id\u0151r\u0151l id\u0151re el\u00e9rkezik saj\u00e1t hat\u00e1r\u00e1hoz, vagy legal\u00e1bbis a matematikus \u00e9rtelem, a racion\u00e1lis elme hat\u00e1r\u00e1hoz. M\u00e9ghozz\u00e1 \u00e9ppen a racionalit\u00e1s \u00fatjain \u00e9r el ide.<\/p>\n

\"bertrand-russell.jpg\"Ez t\u00f6rt\u00e9nik akkor, amikor a matematik\u00e1ban paradoxonok \u00fctik fel a fej\u00fcket. Ezek k\u00f6z\u00fcl a legh\u00edresebb \u2013 a Russell-f\u00e9le paradoxon<\/span> <\/strong>\u2013 k\u00f6zkelet\u0171 t\u00e1lal\u00e1sban \u00edgy hangzik:<\/p>\n

A hadsereg borb\u00e9lya a hadsereg azon tagja, aki csapat\u00e1ban k\u00f6teles mindazokat borotv\u00e1lni, akik egyed\u00fcl nem borotv\u00e1lkoznak. Id\u0151k\u00edm\u00e9l\u00e9s ok\u00e1n azonban tilos borotv\u00e1lnia azokat, akik egyed\u00fcl borotv\u00e1lkoznak.<\/span><\/strong>
A k\u00e9rd\u00e9s: ez a katona borotv\u00e1lja-e \u00f6nmag\u00e1t, vagy sem? Ha igen, akkor \u0151 egyike azoknak, akik egyed\u00fcl borotv\u00e1lkoznak, viszont mint ilyet, tilos lenne \u00f6nmag\u00e1t megborotv\u00e1lnia. Ha nem, akkor \u0151 is azok k\u00f6z\u00e9 tartozik, akik nem borotv\u00e1lkoznak egyed\u00fcl; de mint ilyet, k\u00f6teles mag\u00e1t megborotv\u00e1lnia. Nincs mit tennie.<\/span><\/strong><\/p>\n

\"russell_paradox.gif\"A Russell-paradoxon val\u00f3j\u00e1ban persze nem a sz\u00e1zadborb\u00e9lyr\u00f3l sz\u00f3l, hanem halmazokr\u00f3l. A paradoxon arra mutat r\u00e1, hogy a halmazelm\u00e9letben s\u00falyos ellentmond\u00e1s bukkant fel.
A Russell-paradoxon egy szigor\u00edt\u00e1si hull\u00e1mot ind\u00edtott el a matematik\u00e1n bel\u00fcl. A legjelent\u0151sebb ilyen k\u00eds\u00e9rlet David Hilbert<\/span> <\/strong>programja. Hilbert \u00e9lete utols\u00f3 20 \u00e9v\u00e9ben egy olyan form\u00e1lis rendszeren dolgozott, amely ellentmond\u00e1smentes, \u00e9s amelynek keretei k\u00f6zt a rendszeren bel\u00fcli \u00f6sszes igaz \u00e1ll\u00edt\u00e1s levezethet\u0151. E levezet\u00e9shez pedig nincs sz\u00fcks\u00e9g m\u00e1sra, mint igaznak ismert \u00e1ll\u00edt\u00e1sokra (axi\u00f3m\u00e1kra) \u00e9s k\u00f6vetkeztet\u00e9si szab\u00e1lyokra.<\/p>\n

A matematika megszigor\u00edt\u00e1sa \u2013 ahogy P\u00e9ter R\u00f3zsa<\/span> fogalmaz \u2013, olyan, mintha egy ker\u00edt\u00e9st \u00e9p\u00edten\u00e9nk, hogy a farkasokat kirekessz\u00fck a b\u00e1r\u00e1nyok k\u00f6z\u00fcl. Egyik ilyen \u201eker\u00edt\u00e9s\u201d eset\u00e9ben sem lehet\u00fcnk azonban biztosak, hogy vajon nem rekedt-e k\u00edv\u00fcl b\u00e1r\u00e1ny \u2013 r\u00e1ad\u00e1sul sok \u00e9s \u00e9rt\u00e9kes b\u00e1r\u00e1ny? M\u00e1sfel\u0151l, nem maradt-e bent farkas?<\/strong><\/span><\/p>\n

Simonovits Mikl\u00f3s matematikus<\/strong><\/span><\/p>\n


\"godel.jpg\"Bizony, hogy maradt bent farkas. \u00c9pp mikor v\u00e9gre \u00fagy t\u0171nt, minden j\u00f3 \u00faton halad, a 30-as \u00e9vek k\u00f6zep\u00e9n Hilbert bizony\u00edt\u00e1selm\u00e9let\u00e9t romba d\u00f6nt\u00f6tte Kurt G\u00f6del nemteljess\u00e9gi t\u00e9tele.<\/span><\/strong> Ez a h\u00edres t\u00e9tel azt mondja ki, hogy b\u00e1rmely form\u00e1lis rendszer (k\u00f6zt\u00fck az aritmetika) sz\u00fcks\u00e9gk\u00e9ppen tartalmaz olyan \u00e1ll\u00edt\u00e1st, amelynek igazs\u00e1ga vagy hamiss\u00e1ga nem vezethet\u0151 le az axi\u00f3m\u00e1kb\u00f3l. Vagyis olyan \u00e1ll\u00edt\u00e1st, amely se nem bizony\u00edthat\u00f3, se nem c\u00e1folhat\u00f3: eld\u00f6nthetetlen.
A g\u00f6deli \u00e1ll\u00edt\u00e1sok jellemz\u0151je, hogy \u00f6nmagukra mutatnak r\u00e1, p\u00e9ld\u00e1ul \u00edgy:<\/p>\n

Ennek az \u00e1ll\u00edt\u00e1snak ebben a rendszerben nincs bizony\u00edt\u00e1sa.<\/strong><\/span><\/p>\n

Nem olyan ez, mint az \u0151sr\u00e9gi paradoxonok, p\u00e9ld\u00e1ul a k\u00f6zismert \u201ehazug\u201d antin\u00f3mia: \u201eEz az \u00e1ll\u00edt\u00e1s hamis\u201d? Akkor mi az \u00faj a G\u00f6del-t\u00e9telben, s f\u0151leg mi\u00e9rt tekintik \u00fagy, hogy ez v\u00e1ltotta ki a 20. sz\u00e1zadi matematika els\u0151 nagy v\u00e1ls\u00e1g\u00e1t?<\/p>\n

<\/p>\n

Az\u00e9rt, mert \u2013 ahogy Bencz\u00far Andr\u00e1s, az ELTE matematikusa<\/span> <\/strong>megjegyzi \u2013, imm\u00e1r matematikai t\u00e9tel form\u00e1j\u00e1t \u00f6lt\u00f6tte az az \u00e1ll\u00edt\u00e1s, hogy nem lehet mindennek a helyess\u00e9g\u00e9t bizony\u00edtani.
Az a kijelent\u00e9s, hogy \u201eEz az \u00e1ll\u00edt\u00e1s hamis\u201d, term\u00e9szetes nyelvi kijelent\u00e9s. Ezzel szemben a g\u00f6deli \u00e1ll\u00edt\u00e1s form\u00e1lis nyelven fogalmaz\u00f3dik meg, \u00e9s G\u00f6del nemteljess\u00e9gi t\u00e9tele minden form\u00e1lis rendszerre igaz. A G\u00f6del-t\u00e9tel teh\u00e1t egy olyan er\u0151d k\u00f6zep\u00e9n jelent meg, amelynek c\u00e9lja \u00e9ppen az volt, hogy k\u00edv\u00fcl tartsa az ilyen t\u00edpus\u00fa bizony\u00edt\u00e1sokat.\u00a0<\/p>\n

R\u00e1ad\u00e1sul a matematika sz\u00e1m\u00e1ra alapvet\u0151 \u00e1ll\u00edt\u00e1sokr\u00f3l der\u00fclt ki, hogy azok val\u00f3j\u00e1ban \u201eg\u00f6deliek\u201d.
Az egyik ilyen a p\u00e1rhuzamoss\u00e1gi axi\u00f3ma:<\/span><\/strong><\/p>\n

Bolyai, illetve Lobacsevszkij 1823-ban felismerte: Euklid\u00e9sznek az az \u00e1ll\u00edt\u00e1sa, hogy egy ponton csak egy olyan egyenes h\u00fazhat\u00f3, amely p\u00e1rhuzamos egy m\u00e1sik egyenessel, g\u00f6deli a t\u00f6bbi axi\u00f3m\u00e1hoz k\u00e9pest. Tudtak egy olyan rendszert k\u00e9sz\u00edteni, amelyben valamennyi euklid\u00e9szi axi\u00f3ma ugyan\u00fagy \u00e9rv\u00e9nyes volt, kiv\u00e9ve a p\u00e1rhuzamoss\u00e1git: egy ponton k\u00e9t p\u00e1rhuzamost lehetett h\u00fazni. Logikai eszk\u00f6z\u00f6kkel nem d\u00f6nthet\u0151 el, hogy melyik geometria az igazi, melyik \u00edrja le a val\u00f3 vil\u00e1got \u2013 igaz ugyan, hogy egy matematik\u00e1n k\u00edv\u00fcli elm\u00e9letben, Einstein fizikai rendszer\u00e9ben a vil\u00e1g nem euklid\u00e9szinek bizonyult, teh\u00e1t ez a g\u00f6deli k\u00e9rd\u00e9s nagyon \u00e9rdekes probl\u00e9m\u00e1t tartalmazott.<\/span><\/strong><\/p>\n

M\u00e9r\u0151 L\u00e1szl\u00f3 pszichol\u00f3gus, matematikus<\/span><\/strong><\/p>\n


A m\u00e1sik olyan l\u00e9nyeges \u00e1ll\u00edt\u00e1s, amely \u201eg\u00f6delinek\u201d bizonyult, a matematikusok \u00e1ltal nap mint nap haszn\u00e1lt kontinuum-hipot\u00e9zis:<\/span><\/strong><\/p>\n

A megsz\u00e1ml\u00e1lhat\u00f3 v\u00e9gtelen \u2013 azaz az eg\u00e9sz sz\u00e1mok \u2013 \u00e9s a megsz\u00e1ml\u00e1lhatatlan v\u00e9gtelen \u2013 egy egyenes pontjai, illetve a \u201ekontinuum sz\u00e1moss\u00e1g\u201d \u2013 k\u00f6z\u00f6tt nincs tov\u00e1bbi sz\u00e1moss\u00e1g. <\/strong><\/span>
(Az, hogy egy egyenes pontjai t\u00f6bben vannak, mint az eg\u00e9sz sz\u00e1mok, bizony\u00edtott: mivel nem l\u00e9tes\u00edthet\u0151 k\u00f6zt\u00fck k\u00f6lcs\u00f6n\u00f6sen egy\u00e9rtelm\u0171 megfeleltet\u00e9s.)<\/strong><\/span>
A kontinuum-hipot\u00e9zis a matematika eszk\u00f6zeivel megoldhatatlannak bizonyult. Kurt G\u00f6del 1941-ben igazolta, hogy a VAN v\u00e1laszt nem lehet bizony\u00edtani, Cohen pedig 1963-ban azt, hogy a NINCS v\u00e1lasz sem bizony\u00edthat\u00f3.<\/strong><\/span>
Nos, a kontinuum-hipot\u00e9zis n\u00e9lk\u00fcl a matematika sokkal bonyolultabb, nehezebben kezelhet\u0151 lenne...<\/strong><\/span><\/p>\n

S. M.<\/span><\/strong><\/p>\n

A matematika t\u00f6rt\u00e9nete sor\u00e1n n\u00e9h\u00e1ny t\u00edzmilli\u00f3 komolyabb vizsg\u00e1latra \u00e9rdemes probl\u00e9ma mer\u00fclt fel, ezek k\u00f6z\u00f6tt csak n\u00e9h\u00e1ny tucatnyi a g\u00f6deli, de kev\u00e9sb\u00e9 gondosan szerkesztett ter\u00fcleteken nyilv\u00e1n m\u00e1r gyakoribbak lehetnek. A molekul\u00e1ris biol\u00f3gia g\u00f6deli probl\u00e9m\u00e1ja p\u00e9ld\u00e1ul \u00edgy sz\u00f3l:<\/p>\n

\u201eMinden sejthez l\u00e9tezik egy olyan DNS-fonal, amely ha beker\u00fcl a sejtbe, az \u00e1t\u00edr\u00e1si folyamatok sor\u00e1n olyan proteinek keletkeznek, melyek sz\u00e9trombolj\u00e1k a sejtet (retrov\u00edrusok).\u201d<\/span><\/strong>
Hasonl\u00f3 mechanizmus figyelhet\u0151 meg a sz\u00e1m\u00edt\u00f3g\u00e9pes v\u00edrusokn\u00e1l vagy a fegyverkez\u00e9si verseny t\u00e1mad\u00f3 \u00e9s v\u00e9dekez\u0151 fegyverein\u00e9l. \u2026<\/span><\/strong>
[De nemcsak tudom\u00e1nyos ter\u00fcletekr\u0151l lehet p\u00e1rhuzamokat felhozni.] A Zen egyik alapt\u00e9zise, hogy semmif\u00e9le m\u00f3don nem lehet meghat\u00e1rozni, mi a Zen, \u00e9s term\u00e9szetesen ez a meghat\u00e1roz\u00e1s is helytelen \u2013 tipikus g\u00f6deli k\u00e9rd\u00e9s. A Zen tanmes\u00e9i, a medit\u00e1ci\u00f3, a kolostori \u00e9let mind a vil\u00e1g g\u00f6deli term\u00e9szet\u00e9nek felismer\u00e9s\u00e9t, meg\u00e9l\u00e9s\u00e9t c\u00e9lozza, fel\u00fclemelked\u00e9st a h\u00e9tk\u00f6znapi dolgokon.<\/span><\/strong><\/p>\n

M. L.<\/span><\/strong><\/p>\n

\"G\u00f6del-escher-bach.jpg\"A G\u00f6del-t\u00e9tel teh\u00e1t, azon k\u00edv\u00fcl, hogy a matematika els\u0151 nagy v\u00e1ls\u00e1g\u00e1t jelentette, megmozgatta az emberek fant\u00e1zi\u00e1j\u00e1t: egy n\u00e9pszer\u0171 k\u00f6nyv is sz\u00fcletett r\u00f3la \u2013 D. F. Hofstadter<\/span> <\/strong>G\u00f6del, Escher, Bach<\/em> c\u00edm\u0171 m\u0171ve, amely a G\u00f6del-t\u00e9tel k\u00e9pz\u0151m\u0171v\u00e9szeti \u00e9s zenei anal\u00f3gi\u00e1it is bekapcsolva a gondolatk\u00f6rbe, az \u00f6ntudat kialakul\u00e1s\u00e1nak k\u00e9rd\u00e9s\u00e9t j\u00e1rja k\u00f6r\u00fcl. A G\u00f6del-t\u00e9tel, a Bach-f\u00fag\u00e1k vagy \u00e9ppen Escher \u201elehetetlen \u00e1br\u00e1i\u201d e komputertud\u00f3s szerint mind ugyanazt a m\u00e9lyebb igazs\u00e1got fejezik ki: azt, hogy ha egy rendszer kell\u0151k\u00e9ppen bonyolultt\u00e1 \u00e9s \u00f6sszetett\u00e9 v\u00e1lik, abban hirtelen sz\u00fcks\u00e9gszer\u0171en meg kell jelenjen \u2013 \u00f6nmaga.<\/span> <\/strong>
A G\u00f6del-t\u00e9tel teh\u00e1t eg\u00e9szen k\u00fcl\u00f6nf\u00e9le ter\u00fcletek elt\u00e9r\u0151 felfog\u00e1s\u00fa m\u0171vel\u0151it inspir\u00e1lta tov\u00e1bbgondol\u00e1sra.
\u00c9rdekes m\u00f3don, tulajdonk\u00e9ppen maguk a matematikusok foglalkoztak vele a legkev\u00e9sb\u00e9. G\u00f6del-t\u00e9tel n\u00e9lk\u00fcl, vagy azzal egy\u00fctt, a matematika nagy r\u00e9sze tov\u00e1bbra is m\u0171k\u00f6d\u0151k\u00e9pes volt. Teh\u00e1t a G\u00f6del-t\u00e9tel hat\u00e1sa maga is paradox. Megr\u00e1zta-e egy\u00e1ltal\u00e1n a G\u00f6del-t\u00e9tel a matematik\u00e1t?<\/p>\n

Ha a G\u00f6del-t\u00e9tel nem \u00e9rintett volna olyan alapvet\u0151 \u00e1ll\u00edt\u00e1sokat, mint a kontinuum-hipot\u00e9zis, akkor nem lett volna \u00e9rdekes. \u00cdgy azonban ez a v\u00e1ls\u00e1g val\u00f3ban megr\u00e1zta a matematik\u00e1t. Ugyanakkor \u00e1ltal\u00e1ban nem r\u00e1zta meg a matematikusokat\u2026<\/span><\/strong><\/p>\n

S. M.<\/span><\/strong><\/p>\n

\u00cdgy azt\u00e1n a matematika tov\u00e1bb fejl\u0151d\u00f6tt a maga \u00fatj\u00e1n, s benne egyre t\u00f6bb r\u00e9szter\u00fclet j\u00f6tt l\u00e9tre. A r\u00e9szter\u00fcletek sokasod\u00e1s\u00e1val pedig elt\u0171ntek azok a 18. sz\u00e1zadi t\u00edpus\u00fa matematikusok, akiknek m\u00e9g fej\u00fckben volt eg\u00e9sz tudom\u00e1nyuk minden t\u00e9tele, azok bizony\u00edt\u00e1sai, a bizony\u00edt\u00e1sok \u00f6sszes l\u00e9p\u00e9sei. R\u00e1ad\u00e1sul a 20. sz\u00e1zad sor\u00e1n egyre hosszabb \u00e9s hosszabb bizony\u00edt\u00e1sok keletkeztek. Mostanra pedig eljutottunk od\u00e1ig, hogy sz\u00e1mos bizony\u00edt\u00e1s olyannyira \u00e1tl\u00e1thatatlanul hossz\u00fa, hogy tal\u00e1n nincs is az a matematikus \u2013 legyen az m\u00e9goly hozz\u00e1\u00e9rt\u0151 is \u2013, aki minden r\u00e9szlet\u00e9vel tiszt\u00e1ban volna.
Azok sz\u00e1m\u00e1ra, akik a matematik\u00e1ban a sz\u00e9p \u00e9s \u00e1ttekinthet\u0151 bizony\u00edt\u00e1sokat, a frapp\u00e1ns megold\u00e1sokat vagy a m\u00e9ly \u00f6sszef\u00fcgg\u00e9seket kerest\u00e9k \u00e9s szerett\u00e9k \u2013 mindazt, ami a matematik\u00e1t r\u00e9szben j\u00e1t\u00e9kk\u00e1, r\u00e9szben m\u0171v\u00e9szett\u00e9 teszi \u2013, bizony cs\u00fcggeszt\u0151 lehet az irdatlan hossz\u00fas\u00e1g\u00fa, cs\u00f6ppet sem eleg\u00e1ns bizony\u00edt\u00e1sok t\u00e9rh\u00f3d\u00edt\u00e1sa.<\/span><\/strong> Ez m\u00e1r nem az a tudom\u00e1ny, amely az \u0151 elm\u00e9j\u00fcket kiel\u00e9g\u00edten\u00e9. \u00c9ppannyira elt\u00e9r t\u0151le, mint a gy\u00e1rilag el\u0151\u00e1ll\u00edtott term\u00e9k a k\u00e9zm\u0171ves egyedi alkot\u00e1s\u00e1t\u00f3l.
Az egyik legkir\u00edv\u00f3bb p\u00e9lda az \u201eipari m\u00e9ret\u0171\u201d matematik\u00e1ra a v\u00e9ges egyszer\u0171 csoportok oszt\u00e1lyoz\u00e1sa<\/span> <\/strong>volt. (Hogy ez mif\u00e9le v\u00e1ls\u00e1got id\u00e9zett el\u0151, annak meg\u00e9rt\u00e9s\u00e9hez \u2013 ahogy Brian Davies \u00edrja \u2013 szerencs\u00e9re m\u00e9g azt sem kell tudni, mi is az a v\u00e9ges egyszer\u0171 csoport).
A 70-es \u00e9vekben sz\u00e1zn\u00e1l is t\u00f6bb csoportelm\u00e9let-szakember fogott \u00f6ssze abb\u00f3l a c\u00e9lb\u00f3l, hogy az \u00f6sszes ilyen csoportot oszt\u00e1lyozz\u00e1k. T\u00f6bb mint t\u00edz\u00e9ves munk\u00e1val megsz\u00fcletett az \u00f6sszes v\u00e9ges egyszer\u0171 csoport teljes list\u00e1ja. A probl\u00e9ma ugyan n\u00e9h\u00e1ny mondatban megfogalmazhat\u00f3, annak bizony\u00edt\u00e1s\u00e1hoz azonban, hogy az oszt\u00e1lyoz\u00e1s teljes, m\u00e1r t\u00f6bb mint t\u00edzezer oldalt kellene \u00edrni! A bizony\u00edt\u00e1s teljess\u00e9g\u00e9ben nem k\u00e9sz\u00fclt el \u2013 lehet, hogy nem is fog \u2013, \u00e9s ma \u00fagy t\u0171nik, soha senki sem fogja teljess\u00e9g\u00e9ben meg\u00e9rteni. R\u00e1ad\u00e1sul az sem biztos, hogy az eredm\u00e9nyben nem rejlenek hib\u00e1k.
Szemben a G\u00f6del-t\u00e9tellel, amely ink\u00e1bb a matematikafiloz\u00f3fusok problematik\u00e1j\u00e1hoz tartozik hozz\u00e1, a bizony\u00edt\u00e1sok egyre hosszabb\u00e1 \u00e9s bonyolultabb\u00e1 v\u00e1l\u00e1sa ma is val\u00f3di terhet jelent a matematikusok sz\u00e1m\u00e1ra: ez igazi h\u00fasbav\u00e1g\u00f3 k\u00e9rd\u00e9s, ugyanakkor kih\u00edv\u00e1s is, amely a matematik\u00e1t \u00faj paradigm\u00e1khoz vezetheti el.
Az egyik ilyen paradigma a matematika kollekt\u00edv m\u0171vel\u00e9se:<\/span><\/strong><\/p>\n

Azt hiszem, k\u00f6nnyen bizony\u00edthat\u00f3 t\u00e9ny, hogy a matematika egyre ink\u00e1bb k\u00f6z\u00f6ss\u00e9gi tev\u00e9kenys\u00e9gg\u00e9 v\u00e1lik: szaporodnak a konferenci\u00e1k, a t\u00e1rsszerz\u0151s cikkek, internetes port\u00e1lok egyes t\u00e9m\u00e1kr\u00f3l stb. Ez olyan kutat\u00e1sokra is \u00e1ll, melyek eset\u00e9n a v\u00e9gterm\u00e9k ,,emberi\u201d m\u00e9ret\u0171, mondjuk 10-20 oldalas bizony\u00edt\u00e1s. A k\u00f6z\u00f6s gondolkod\u00e1s sokszor eredm\u00e9nyesebb, mint a k\u00fcl\u00f6n-k\u00fcl\u00f6n v\u00e9gzett kutat\u00e1s, \u00e9s mivel sok minden j\u00f6tt l\u00e9tre, ami ezt lehet\u0151v\u00e9 teszi \u2013 az interkontinent\u00e1lis rep\u00fcl\u00e9st\u0151l az Internetig \u2013, az ebben rejl\u0151 lehet\u0151s\u00e9gek kihaszn\u00e1l\u00e1sa sokat lend\u00edthet a matematik\u00e1n.<\/span><\/strong><\/p>\n

Lov\u00e1sz L\u00e1szl\u00f3 matematikus<\/span><\/strong><\/p>\n


Egy m\u00e1sik paradigma \u2013 pontosabban nem is paradigma, hanem a matematikai fejl\u0151d\u00e9s egy mindenkori saj\u00e1toss\u00e1ga \u2013 az egyszer\u0171s\u00f6d\u00e9s.<\/span><\/strong> De h\u00e1t eddig \u00e9ppen arr\u00f3l volt sz\u00f3, hogy a matematika egyre bonyolultabb\u00e1 v\u00e1lik! \u00d6sszess\u00e9g\u00e9ben igen, m\u00e9gis l\u00e9tezik egy ellenmozg\u00e1s, de nem a matematika eg\u00e9sze, hanem az egyes t\u00e9telek szintj\u00e9n:<\/span><\/strong><\/p>\n

A nagyon bonyolult \u00e9s hossz\u00fa bizony\u00edt\u00e1sok gyakran r\u00f6vid\u00fclnek le az id\u0151k folyam\u00e1n\u2026 Olyan ez, mint amikor a felfedez\u0151 el\u0151sz\u00f6r tal\u00e1l egy csod\u00e1latos, dr\u00e1gak\u00f6vekkel teli barlangot, amely szinte megk\u00f6zel\u00edthetetlen \u2013 ut\u00e1na a feltal\u00e1l\u00f3 megalkot egy olyan eszk\u00f6zt, amellyel ez j\u00f3l megk\u00f6zel\u00edthet\u0151v\u00e9 v\u00e1lik\u2026<\/span><\/strong><\/p>\n

L. L.<\/span><\/strong><\/p>\n

A nyugtalan\u00edt\u00f3 csak az, hogy az eml\u00edtett \u201e\u00f3ri\u00e1st\u00e9tel\u201d mintegy huszon\u00f6t \u00e9ve cs\u00f6ppet sem akar egyszer\u0171s\u00f6dni.<\/span> <\/strong>Lehet, hogy a bonyolults\u00e1g ilyen magas fok\u00e1n m\u00e1r nem olyan egyszer\u0171 az egyszer\u0171s\u00f6d\u00e9s? Hiszen alapvet\u0151en az egyre m\u00e9lyebb meg\u00e9rt\u00e9s vezethet oda, hogy egyre eleg\u00e1nsabb, t\u00f6m\u00f6rebb bizony\u00edt\u00e1sok j\u00f6jjenek l\u00e9tre. A bizony\u00edt\u00e1s t\u00fals\u00e1gosan hossz\u00fa volta viszont \u00e9ppen a meg\u00e9rt\u00e9st g\u00e1tolja \u2013 en\u00e9lk\u00fcl viszont nem lehet arra sz\u00e1m\u00edtani, hogy a bizony\u00edt\u00e1s r\u00f6vid\u00fclj\u00f6n. E k\u00f6rk\u00f6r\u00f6s oks\u00e1g miatt \u00e9pp a leghosszabb bizony\u00edt\u00e1sok eset\u00e9ben a legval\u00f3sz\u00edn\u0171tlenebb, hogy azok valaha is egyszer\u0171bb\u00e9 v\u00e1ljanak.<\/p>\n

Ezen a gondon seg\u00edthetne egy olyan intelligencia bevet\u00e9se a matematikai bizony\u00edt\u00e1sban, amelynek nincsenek az emberi \u00e9rtelemhez hasonl\u00f3 mennyis\u00e9gi korl\u00e1tai. J\u00f6jjenek teh\u00e1t a sz\u00e1m\u00edt\u00f3g\u00e9pek,<\/span><\/strong> melyek n\u00e9h\u00e1ny perc alatt annyi m\u0171veletet k\u00e9pesek elv\u00e9gezni, amelyhez egy ember\u00e9let sem volna elegend\u0151. Ez\u00e1ltal sokkal egyszer\u0171bb\u00e9 teszik a matematikusok dolg\u00e1t.
Vagy m\u00e9gsem? Lehet, hogy maguk a sz\u00e1m\u00edt\u00f3g\u00e9pek is hozz\u00e1j\u00e1rulnak a bonyolults\u00e1g n\u00f6veked\u00e9s\u00e9hez? Abban a pillanatban igen, amikor a g\u00e9p \u00e1ltal szolg\u00e1ltatott bizony\u00edt\u00e1st ellen\u0151rizni is akarjuk. Hiszen ezek a bizony\u00edt\u00e1sok \u00e1ltal\u00e1ban szint\u00e9n olyan hossz\u00faak, hogy senki nem lenne k\u00e9pes azokat v\u00e9gig leellen\u0151rizni.
\u00c9pp ez\u00e9rt a sz\u00e1m\u00edt\u00f3g\u00e9p igaz\u00e1b\u00f3l megosztja a matematikusokat.<\/span> <\/strong>Sokuk nem t\u00fals\u00e1gosan szeret sz\u00e1m\u00edt\u00f3g\u00e9ppel dolgozni, ism\u00e9t csak a matematika sz\u00e9ps\u00e9g\u00e9nek fel\u00e1ldoz\u00e1s\u00e1t\u00f3l val\u00f3 f\u00e9lelm\u00e9ben. Persze term\u00e9szetes, hogy mint mindenben, a matematik\u00e1ban is vannak hagyom\u00e1nykedvel\u0151k \u00e9s modernek. A hagyom\u00e1nykedvel\u0151ket igencsak nyugtalan\u00edtotta a 70-es \u00e9vekben az a t\u00e9ny, hogy egy h\u00edres 19. sz\u00e1zadi matematikai sejt\u00e9st \u2013 a n\u00e9gysz\u00edn-sejt\u00e9st \u2013 csak a sz\u00e1m\u00edt\u00f3g\u00e9p seg\u00edts\u00e9g\u00e9vel lehetett bizony\u00edtani.<\/p>\n

De honnan is ered a n\u00e9gysz\u00edn-sejt\u00e9s?<\/span><\/strong><\/p>\n

\"F-Guthrie.jpg\"Francis Guthrie<\/span> <\/strong>D\u00e9l-afrikai matematikus 1852-ben \u00fagy pr\u00f3b\u00e1lta meg kisz\u00ednezni Nagy-Britannia t\u00e9rk\u00e9p\u00e9t, hogy az egym\u00e1ssal szomsz\u00e9dos (k\u00f6z\u00f6s hat\u00e1rszakasszal is rendelkez\u0151) megy\u00e9k k\u00fcl\u00f6nb\u00f6z\u0151 sz\u00edn\u0171ek legyenek. Ek\u00f6zben mer\u00fclt fel benne az a k\u00e9rd\u00e9s, hogy egy tetsz\u0151leges t\u00e9rk\u00e9p kisz\u00ednez\u00e9s\u00e9hez minim\u00e1lisan h\u00e1ny sz\u00ednre van sz\u00fcks\u00e9g. Azt, hogy h\u00e1rom sz\u00edn nem elegend\u0151, hamar bel\u00e1tta; viszont \u00fagy tapasztalta, hogy n\u00e9gy sz\u00edn minden esetben elegend\u0151. \"four-color-theorem.jpg\"Ezt azonban sem neki nem siker\u00fclt bizony\u00edtania, sem m\u00e1s matematikusoknak \u2013 eg\u00e9szen 1976-ig. Ekkor Kenneth Appel \u00e9s Wolfgang Haken tal\u00e1lt r\u00e1 a bizony\u00edt\u00e1sra. A probl\u00e9ma csup\u00e1n az volt, hogy sz\u00e1mos lehets\u00e9ges elrendez\u00e9st sz\u00e1m\u00edt\u00f3g\u00e9ppel ellen\u0151riztek.<\/p>\n

Hov\u00e1 vezet mindez? \u2013 agg\u00f3dtak a hagyom\u00e1nykedvel\u0151 matematikusok. R\u00e1ad\u00e1sul akkoriban m\u00e9g probl\u00e9m\u00e1t okozott mag\u00e1nak a bizony\u00edt\u00e1snak az ellen\u0151rz\u00e9se is. Honnan lehet\u00fcnk teljesen biztosak a g\u00e9p hib\u00e1tlan sz\u00e1m\u00edt\u00e1s\u00e1ban, ha k\u00e9zzel nem ellen\u0151rizhet\u0151 a bizony\u00edt\u00e1s minden egyes sora? \u2013 k\u00e9rdezt\u00e9k. Ekkor ugyanis a \u2018tiszta\u2019 t\u00e9telek m\u00e9g olyan bizony\u00edt\u00e1sokkal rendelkeztek, amelyek t\u00e1madhatatlans\u00e1g\u00e1r\u00f3l teljes volt az egyet\u00e9rt\u00e9s.
Nos, ezt a probl\u00e9m\u00e1t Davies a jelen kor egyik komoly v\u00e1ls\u00e1gak\u00e9nt eml\u00edti \u2013 de aktu\u00e1lis-e m\u00e9g egy\u00e1ltal\u00e1n?<\/p>\n

A n\u00e9gysz\u00edn-t\u00e9tel bizony\u00edt\u00e1s\u00e1val kapcsolatban az egyik f\u0151 agg\u00e1ly az volt, hogy nagyon kev\u00e9s matematikusnak volt lehet\u0151s\u00e9ge arra, hogy ennyi g\u00e9pid\u0151t kapjon, ha mondjuk ellen\u0151rizni akarta a r\u00e9szleteket. Ma m\u00e1r neh\u00e9z (legal\u00e1bbis a kicsit is fejlett vil\u00e1gban) olyan kutat\u00f3t elk\u00e9pzelni, aki ne tudna egy g\u00e9pet szerezni, amin egy programot ak\u00e1rmilyen hosszan futtathat, ha akar. \u00cdgy m\u00e1ra a sz\u00e1m\u00edt\u00f3g\u00e9pes bizony\u00edt\u00e1sok elfogad\u00e1s\u00e1val vagy el nem fogad\u00e1s\u00e1val kapcsolatos vit\u00e1kon t\u00fall\u00e9pett az id\u0151.<\/span><\/strong><\/p>\n

L. L.<\/span><\/strong><\/p>\n

M\u00e1sfel\u0151l viszont \u201eannak ellen\u0151rz\u00e9se, hogy a sz\u00e1m\u00edt\u00f3g\u00e9pes program korrekt\u00fcl dolgozott, m\u00e9g mindig nem trivi\u00e1lis feladat\u201d,<\/span> <\/strong>ahogy Bencz\u00far<\/span><\/strong> mondja.<\/p>\n

Ha valaki \u00edr egy nagy programot, nem lehet biztos benne, hogy nem hib\u00e1zott a program \u00edr\u00e1sakor. Teljes k\u00f6r\u0171en egy nagy programot nem lehet tesztelni. Hamarosan meg fognak jelenni azok a programok, amelyek programokat k\u00e9sz\u00edtenek. Hogyan lehet ellen\u0151rizni ezek m\u0171k\u00f6d\u00e9s\u00e9nek helyess\u00e9g\u00e9t? Ezek a k\u00e9rd\u00e9sek nem elm\u00e9letiek, hiszen egy bonyolult ipari berendez\u00e9s biztons\u00e1g\u00e1t ugyanilyen eszk\u00f6z\u00f6kkel vizsg\u00e1lj\u00e1k.<\/span><\/strong><\/p>\n

Makai Mih\u00e1ly fizikus<\/span><\/strong><\/p>\n

A programhelyess\u00e9g-ellen\u0151rz\u00e9s is \u00faj paradigma, legal\u00e1bbis a matematik\u00e1ban, mivel a sz\u00e1m\u00edt\u00e1stechnik\u00e1ban m\u00e1r bevett m\u00f3dszer. P\u00e9ld\u00e1ul a Windows XP a programelemz\u0151 eszk\u00f6z\u00f6knek k\u00f6sz\u00f6nhet\u0151en lett rendk\u00edv\u00fcl megb\u00edzhat\u00f3. Ezek az eszk\u00f6z\u00f6k a program-helyess\u00e9g matematik\u00e1j\u00e1t haszn\u00e1lj\u00e1k, amelyet eredetileg a form\u00e1lis matematikai ellen\u0151rz\u00e9s c\u00e9lj\u00e1ra alkottak meg. M\u00e9gis, el\u0151sz\u00f6r nem a matematik\u00e1ban, hanem a programoz\u00e1sban bizony\u00edtott\u00e1k \u00e9rt\u00e9kes voltukat. Ez pedig egyes informatikusokat arra b\u00e1tor\u00edt, hogy megpr\u00f3b\u00e1lj\u00e1k ugyanezen m\u00f3dszereket a matematik\u00e1ban is alkalmazni \u2013 ez ut\u00f3bbi ter\u00fclet azonban egyel\u0151re m\u00e9g nem \u00e9rett meg erre.
Egy tov\u00e1bbi \u2013 \u00e9s tal\u00e1n komolyabb \u2013 gond a sz\u00e1m\u00edt\u00f3g\u00e9pes bizony\u00edt\u00e1sokkal, hogy egyes matematikusok \u00fagy gondolkoznak: nem az az \u00e9rdekes, igaz-e egy t\u00e9tel, hanem hogy mi\u00e9rt igaz. Az olyan bizony\u00edt\u00e1s, amely nem j\u00e1r egy\u00fctt meg\u00e9rt\u00e9ssel, sz\u00e1mukra \u00e9rdektelennek bizonyul. M\u00e1rpedig a sz\u00e1m\u00edt\u00f3g\u00e9pek haszn\u00e1lat\u00e1val ez a vesz\u00e9ly fokoz\u00f3dik, mivel egy sz\u00e1m\u00edt\u00f3g\u00e9pes bizony\u00edt\u00e1st egyszer\u0171en nem lehet \u00fagy \u00e1tl\u00e1tni, mint egy olyat, amelyet a matematikus \u201epap\u00edron\u201d, l\u00e9p\u00e9sr\u0151l l\u00e9p\u00e9sre vezet le. Vannak, akiket ez nem is zavar, mivel a haszn\u00e1lhat\u00f3 eredm\u00e9ny fontosabb sz\u00e1mukra, mint az, hogy \u00e9rts\u00e9k: hogyan jutott el ehhez az eredm\u00e9nyhez a sz\u00e1m\u00edt\u00f3g\u00e9p.
\u00c1ltal\u00e1nos\u00edtva ezt a probl\u00e9m\u00e1t, zavarhatja a matematikusokat, hogy tudom\u00e1nyuk egyre t\u00e1volabb ker\u00fcl az emberi l\u00e9pt\u00e9kekt\u0151l, mik\u00f6zben\u2026<\/span><\/strong><\/p>\n

\u2026a matematika \u2013 mint minden tudom\u00e1ny \u2013 nagyon is emberi. Ezt j\u00f3l mutatj\u00e1k az ilyesfajta kifakad\u00e1sok: \u201eUndorral fordulok el ett\u0151l a fek\u00e9lyt\u0151l: f\u00fcggv\u00e9nyek, amelyeknek nincs deriv\u00e1ltjuk.\u201d \u201eCantor az ifjus\u00e1g megront\u00f3ja\u201d \u2013 ez ut\u00f3bbi Georg Cantor halmazelm\u00e9leti gondolataira utal. <\/span><\/strong>
Senki sem mentes att\u00f3l, hogy t\u00edz ujja van, hogy elm\u00e9j\u00e9t az \u00e9rz\u00e9kszerveit \u00e9r\u0151 benyom\u00e1sok alak\u00edtott\u00e1k. A matematika alapjainak vizsg\u00e1latakor kider\u00fcl, hogy az \u00f6sszead\u00e1s \u00e9s a szorz\u00e1s m\u0171veletei m\u00e1sk\u00e9ppen is defini\u00e1lhat\u00f3k, amib\u0151l egy \u00faj algebra \u00e9s anal\u00edzis sz\u00fclethet. Ha valaki egy pr\u00edmsz\u00e1mra gondol, aligha jut esz\u00e9be egy milli\u00f3s sz\u00e1mjegy\u0171 sz\u00e1m. A sort lehetne folytatni a v\u00e9letlen jelens\u00e9gekkel \u00e9s m\u00e1s ter\u00fcletekkel. Az is az antropomorf tud\u00e1s korl\u00e1tja, hogy egy bizony\u00edt\u00e1s nem lehet t\u00fal hossz\u00fa.<\/span><\/strong><\/p>\n

M. M.<\/span><\/strong><\/p>\n

Ugyanakkor a tudom\u00e1ny egyre ink\u00e1bb megpr\u00f3b\u00e1lja kik\u00fcsz\u00f6b\u00f6lni \u00e9s t\u00fall\u00e9pni az antropomorf tud\u00e1s korl\u00e1tait \u2013 els\u0151sorban az \u00faj technikai eszk\u00f6z\u00f6kkel. A sz\u00e1m\u00edt\u00f3g\u00e9pek haszn\u00e1lat\u00e1nak \u00e9ppoly sok hozama van a matematika sz\u00e1m\u00e1ra \u2013 p\u00e9ld\u00e1ul a k\u00eds\u00e9rleti matematika l\u00e9trej\u00f6tte \u2013, mint amekkora probl\u00e9m\u00e1t jelent \u2013 ha jelent egy\u00e1ltal\u00e1n:
\u00a0
\u00c9n nem vagyok pesszimista, \u00fagy l\u00e1tom, a komputerek sok matematikus kez\u00e9ben is hasznos seg\u00e9deszk\u00f6z\u00f6k lettek, amelyekkel sok probl\u00e9m\u00e1t megoldottak \u00fagy, hogy a v\u00e9g\u00e9n a k\u00e9sz eredm\u00e9nyen m\u00e1r nem l\u00e1tszik a komputer seg\u00edts\u00e9ge\u2026 \u00c9s nem hiszem igaznak, hogy egy komputeres bizony\u00edt\u00e1s semmik\u00e9ppen sem seg\u00edtheti az \u201eemberi meg\u00e9rt\u00e9st\u201d!<\/span><\/strong><\/p>\n

Wettl Ferenc matematikus<\/span><\/strong><\/p>\n


Mi\u00e9rt nincs v\u00e1ls\u00e1gban a matematika? \u2013 A matematika sikere<\/span><\/strong><\/p>\n

Ahogy n\u0151tt\u00f6n n\u0151ttek a matematika probl\u00e9m\u00e1i a 20. sz\u00e1zad sor\u00e1n, ahogy a matematika egyre ink\u00e1bb meghaladta az emberi felfog\u00f3k\u00e9pess\u00e9get egyre szaporod\u00f3 \u00e1gazataival, egyre hosszabb\u00e1 v\u00e1l\u00f3 bizony\u00edt\u00e1saival, paradox m\u00f3don m\u00e9gis egyre t\u00f6bb emberi l\u00e9pt\u00e9kkel is \u00e9rz\u00e9kelhet\u0151 eredm\u00e9ny k\u00f6vetkezett bel\u0151le. Ezekre az eredm\u00e9nyekre a matematikusok t\u00f6bbs\u00e9ge nem is t\u00f6rekedett, ir\u00e1ntuk nem is t\u00falzottan \u00e9rdekl\u0151d\u00f6tt.
Itt els\u0151sorban a tiszta matematika m\u0171vel\u0151ir\u0151l van sz\u00f3, \u00e9s nem az alkalmazott matematikusokr\u00f3l. A tiszta matematik\u00e1nak nem c\u00e9lja semmif\u00e9le gyakorlati haszon, de m\u00e9g az sem, hogy p\u00e9ld\u00e1ul a fizikai vil\u00e1gnak valamely t\u00f6rv\u00e9nyszer\u0171s\u00e9g\u00e9t megfejtse. Ezzel egy\u00fctt\u2026<\/p>\n

\u2026a matematika hihetetlen sikert\u00f6rt\u00e9net. Nem az\u00e9rt, mert 2x2 mindig 4, hanem mert sok l\u00e9nyeges k\u00e9rd\u00e9s\u00fcnkre megadja a v\u00e1laszt. Ha a matematika fogalmait haszn\u00e1ljuk, j\u00f3l meg tudjuk mondani, mi t\u00f6rt\u00e9nik. G\u00e9neket tudunk felt\u00e9rk\u00e9pezni, rak\u00e9t\u00e1kat tudunk eljuttatni a megfelel\u0151 helyre\u2026 K\u00e9rd\u00e9s, hogyan alak\u00edtott ki a matematika ilyen fogalmakat, amelyek ennyire j\u00f3l le\u00edrj\u00e1k a val\u00f3s\u00e1got? <\/span><\/strong>
Ez az\u00e9rt is furcsa, mert egy matematikus egyszerre foglalkozik valami nagyon absztrakt dologgal, aminek semmi k\u00f6ze a val\u00f3s\u00e1ghoz \u2013 \u00e9s j\u00e1rul hozz\u00e1 valamihez \u00fagy, hogy nem is akar.<\/span><\/strong><\/p>\n

S. M.<\/span><\/strong><\/p>\n

A matematika m\u0171vel\u00e9se egy hamis\u00edtatlan, tiszta matematikus sz\u00e1m\u00e1ra olyannyira \u00f6nc\u00e9l, ami kev\u00e9s m\u00e1s emberi tev\u00e9kenys\u00e9ghez hasonl\u00edthat\u00f3. Mondhatni, a matematika az elme f\u00e9ny\u0171z\u00e9se. Min\u00e9l igazibb matematikus valaki, ann\u00e1l kev\u00e9sb\u00e9 hajtj\u00e1k a matematika m\u0171vel\u00e9s\u00e9n k\u00edv\u00fcli motiv\u00e1ci\u00f3k.
A matematika kiterjedt r\u00e9szei \u2013 mint p\u00e9ld\u00e1ul a sz\u00e1melm\u00e9let, a gr\u00e1felm\u00e9let vagy a topol\u00f3gia \u2013 \u00fagymond \u201e\u00f6nc\u00e9l\u00faan\u201d j\u00f6ttek l\u00e9tre. Probl\u00e9m\u00e1iknak semmi k\u00f6z\u00fck nem volt az anyagi vil\u00e1ghoz. Azt\u00e1n egyre-m\u00e1sra der\u00fclt ki ezekr\u0151l az addig \u201eimprodukt\u00edvnak\u201d tartott ir\u00e1nyokr\u00f3l, hogy nagyon is alkalmazhat\u00f3k.<\/p>\n

\"Hardy_2.jpg\"Godfrey Hardy,<\/span> aki a pr\u00edmsz\u00e1mok elm\u00e9let\u00e9nek egyik legkiemelked\u0151bb kutat\u00f3ja volt a 20. sz\u00e1zad els\u0151 fel\u00e9ben, ezt \u00edrja Egy matematikus v\u00e9dekez\u00e9se<\/em> c\u00edm\u0171 k\u00f6nyv\u00e9ben:<\/span><\/strong>
Soha nem tettem semmi \u201ehasznosat\u201d. Semelyik felfedez\u00e9sem sem volt k\u00f6zvetlen\u00fcl vagy k\u00f6zvetve j\u00f3 vagy rossz hat\u00e1ssal a vil\u00e1g foly\u00e1s\u00e1ra, \u00e9s nem val\u00f3sz\u00edn\u0171, hogy valaha is hat\u00e1ssal lesz... Az \u201eigazi\u201d matematikusok \u201eigazi\u201d matematik\u00e1ja, Fermat \u00e9s Euler \u00e9s Gauss \u00e9s Abel \u00e9s Riemann matematik\u00e1ja csaknem teljesen \u201ehaszontalan\u201d.<\/span><\/strong>
Amikor az Interneten v\u00e1s\u00e1rolunk vagy bank\u00fcgyeket int\u00e9z\u00fcnk, sz\u00e1m\u00edt\u00f3g\u00e9p\u00fcnknek t\u00f6bb sz\u00e1z jegy\u0171 sz\u00e1mokr\u00f3l kell eld\u00f6ntenie, hogy pr\u00edmsz\u00e1mok-e \u2013 tizedm\u00e1sodpercek alatt. Ehhez a g\u00e9p Fermat t\u00e9tel\u00e9t haszn\u00e1lja. A k\u00fcl\u00f6nb\u00f6z\u0151 sz\u00e1m\u00edt\u00f3g\u00e9pes protokollok, biztons\u00e1gi m\u00f3dszerek a Hardy \u00e1ltal felsorolt nagys\u00e1gok szinte mindegyik\u00e9nek a munk\u00e1j\u00e1ra \u00e9p\u00edtenek. Azt hiszem azonban, hogy ezek a t\u00e9nyek Hardy kutat\u00e1si elveit legal\u00e1bb annyira al\u00e1t\u00e1masztj\u00e1k, mint amennyire az \u00e1ll\u00edt\u00e1sait c\u00e1folj\u00e1k. Ha ezeket a nagys\u00e1gokat csak kutat\u00e1suk k\u00f6zvetlen haszna motiv\u00e1lta volna \u00e9s nem a matematikai k\u00e9rd\u00e9sek sz\u00e9ps\u00e9ge, a megismer\u00e9s v\u00e1gya, akkor ma nem lenn\u00e9nek eszk\u00f6zeink a sz\u00e1m\u00edt\u00f3g\u00e9p-rendszerek biztons\u00e1g\u00e1nak v\u00e9delm\u00e9re.<\/span><\/strong><\/p>\n

L. L.<\/span><\/strong><\/p>\n

Kimondhat\u00f3 teh\u00e1t, hogy a matematika \u2013 minden v\u00e1ls\u00e1ga ellen\u00e9re \u2013 az emberi gondolkod\u00e1s egyik legnagyobb \u00e9s legrejt\u00e9lyesebb sikert\u00f6rt\u00e9nete. \u00cdgy azt\u00e1n, ha meg is d\u0151lt az a lehet\u0151s\u00e9g G\u00f6dellel, hogy bizony\u00edthat\u00f3 a matematika minden t\u00e9tel\u00e9nek igazs\u00e1ga, a pragmatista igazs\u00e1g-meghat\u00e1roz\u00e1snak \u2013 hogy \u2019ami hasznos, az igaz is\u2019 \u2013 a matematika k\u00e9ts\u00e9gk\u00edv\u00fcl megfelel. A matematika \u201em\u0171k\u00f6dik\u201d, ilyen \u00e9rtelemben igaz; s ha voltak is kisebb betegs\u00e9gei, ezeket legy\u0171rte, vagy ha le nem gy\u0171rte, h\u00e1t akkor egy\u00fctt \u00e9l vel\u00fck.<\/p>\n

\u00a0<\/p>\n

\u00a0<\/p>","type":"rich"}