A cikk előző része itt található.
Bertrand Toën ugyanazt a tapasztalatot élte meg. Kutató a toulouse-i Matematikai Intézetben; a „magasabb kategóriák” a témája – ezek teszik lehetővé az egyenlőség fogalmának újragondolását és kiszélesítését. „2006-ban megtaláltuk Grothendieck 1983-ból származó jegyzeteit, amelyek a magasabb kategóriák precíz felépítését tartalmazzák. Senki nem gondolta volna, hogy ilyen fogalmazvány létezik”; ez az anekdota is a mester vizionáló szelleméről árulkodik. Alain Genestier viszont óvatos: „Hagyni kell némi bizonytalanságot. Még nem értettünk meg mindent, ami ebben az archívumban van, lehet, hogy olyasmiket is tartalmaz, amiknek a jelentőségét csak később látjuk át.”
E szellem jelentőségének jobb megértéhez el kell merülni az online elérhető archívumokban. Kicsit olyan ez, mintha egy öreg padláson kinyitnánk egy nyikorgó utazóládát. A látszólag összevissza jelekkel teleírt ívek közepette néhány meglepő tárgy hívja fel magára a figyelmet: hol egy legyező, hol egy teleírt naptár. De a legfurcsább: az Académie des Sciences által hatévente odaítélt Émile Picard érem, amelyet Grothendieck diótörésre használt.
Noha Grothendieck megkapta a legnagyobb kitüntetéseket, nem tulajdonított nekik fontosságot – annyira nem, hogy 1988-ban visszautasította a Svéd Királyi Akadémia Craford-díját. „Ami az alapokra vonatkozó munkásságom kitüntetését illeti, meg vagyok győződve arról, hogy az idő az egyedüli próba, amelyet gondolataimnak ki kell állniuk. A termékenység az utódokról ismerszik fel, nem a kitüntetésekről.”
Egy biztos: Grothendieck jobban kedvelte a diót, mint a díjakat! A Récoltes et Semailles-ben egy dióval példálózva írja le tudományos krédóját. Egy dió felnyitásához (akár egy matematikai probléma megoldásához) egyesek gondolkozás nélkül a durva módszert – a kalapácsot – választják (vagy a Picard-érmét). Ő azt tanácsolja, hogy a terméket vízben kell ázni hagyni. „A dió pár hét vagy hónap alatt megpuhul, és akkor tenyerünkkel szétnyomható!”
Ez a metafora jól jellemzi Grothendieck gondolkodásmódját: minden problémában egy általánosabb tétel speciális esetét látta. „Az általánosabb tétel, éppen mert általános, alkalmas olyan elemi redukciókra, amelyek – erőfeszítés nélkül, mintha csoda történnék – elvezetnek az eredeti probléma megoldásához” – egészíti ki Luc Illusie.
Tehát Grothendiecknak nem annyira a probléma megoldása a fontos, mint az, hogy a probléma ott főjön az elméjében, hogy gondolatokat ébresszen. Leila Schneps matematikus, a Grothendieck-kör (Grothendieck munkáinak szentelt internetes oldal) tagja: „Képtelen volt részfeladatokkal, példákkal foglalkozni. Mindig azt a struktúrát akarta megtalálni, amely mindent megmagyaráz; olyan volt, akár egy detektív, aki az ügy összes elemének értelmét igyekszik megfejteni.” A háttérben pedig az a gondolat húzódik meg, hogy a tárgyak kevésbé fontosak az őket körülvevő kötelékeknél – teljes szemléletváltás ez a matematikában, amely addig elsősorban a halmaz és az objektum fogalmaira fókuszált.
Az egyetemességnek ez az akarása óhatatlanul rendkívül elvontakká tette írásait. S egy már addig is meglehetősen hermetikus területből a profán ember számára bevehetetlen erődöt alakított ki. De minő mélység! A matematikus Michel Raymond így emlékszik vissza Grothendieck szemináriumaira: „Előadásai tényleg zavarba ejtettek általánosságukkal, elvontságukkal. De utána rájöttünk, hogy a megfelelő fogalmakat fejtette ki azok természetes keretei között.”
Vegyünk egy példát: a sémák. A Montpellier-i archívum az 1960 és 1967 közt publikált Éléments de géométrie algébrique jegyzeteiből 425 oldalt tartalmaz. A mű első kötete ezt az alapvető fogalmat fejti ki. Elnagyolva egy séma egyfajta tér-generátor, amely a különböző geometriák közti rejtett kapcsolatokat tárja fel. E fogalom jelentésének megértéséhez számos más fogalmat kell érteni, sőt meghaladni. De a matematikusok biztosítanak: onnan fentről csodálatos a kilátás.
„A sémák nem mások, mint mindennapi nyelvünk, a mai geometria alapjai. Ma már megkerülhetetlenek! – így Pierre Cartier – Valójában a sémák Grothendieck előtt is léteztek, de benne volt meg az a merészség, hogy kiküszöböljön minden korlátozást, hogy igen tág alkalmazási területük legyen.
De az ügy még radikálisabb! Az archívumban fellelhető egy 65 oldalas füzet is, benne az 1960-1969 közti szemináriumok jegyzeteivel. Itt Grothendieck kifejt egy fogalmat, amelyet matematikai munkássága legtermékenyebb fogalmának tekint majd, s amelyet később „toposz”-nak nevez el.
“Nem látok mást a matematika elmúlt három évtizedében, aki lehetett volna annyira naiv, hogy bevezesse a toposz gyermeki elképzelését” – írja Cartier a Récoltes et Semailles-ban.
A toposzok valóban kihívást jelentenek a kiterjesztéshez: afféle tág és rugalmas interface-ek a geometriai terek és az objektum-halmazok között. „A toposz koncepciója ugyanakkor egy lenyűgöző általánosság, mélység és számítási hatékonyság egyidejű megjelenése: lehetővé teszi, hogy hidat építsünk olyan matematikai tartományok között, amelyek látszólag egyáltalán nem kapcsolódnak egymáshoz” – hangsúlyozza Olivia Caramello, a téma szakembere az Insubria Egyetemen (Como, Olaszország). Ilyen az algebra és a geometria. A Grothendieck-jegyzetekben talán még mindig van valami, ami újat mondhat nekünk e toposzok egyesítő képességeiről.
És nemcsak ez az, ami az egyetemesség iránti törekvésében történt. Itt van egy 1041 oldalas archívum, amelynek címe legalábbis érdekes: Motívumelmélet. Grothendieck különös gondot fordított a feltalált fogalmak megnevezésére; a „motívum” egyaránt jelent motivációkat és egy idom geometriai elrendezését. Mint a kémia esetében, ahol a molekulák sokfélesége egy kis atomcsoportot rejt. Grothendieck úgy képzeli, hogy a geometriai objektumok „tiszta mintákra” bonthatók, és ezután átrendezhetők, hogy más objektumokat alkossanak.
Grothendieck soha nem tett közzé semmit erről a fogalomról, amely a legmagasabb ambícióját képviseli, a végső lépést az absztrakció felé, amelyet nem volt képes véghezvinni – ez volt talán az egyik oka annak, hogy 1990-ben lelép a matematika színpadáról. „Grothendieck olyannak látta a tiszta motívumokat, mint az egyik testből a másikba vándorló lelkeket, amelyek egy bizonyos állandóságot is képviselnek” – mutat rá Pierre Cartier. A buddhizmus a matematika és a nők mellett a harmadik nagy szenvedélye volt, amelyet Grothendieck elismert.
Ezek az okok, amelyek csak bizonyos esetekben definiálhatók, ma is nagyon titokzatosak és mindenütt jelen vannak. Ott vannak minden mai munkában, amely az algebrai geometriáról és a számelméletről szól. Még meglepőbb: szerephez juthatnak a részecskefizikában is! „Ez az ötlet a fizikusok és a matematikusok közötti beszélgetések során merült fel az IHES-ben, teázás idején”, emlékeztet Francis Brown, az Oxfordi Egyetem professzora. A kihívás az volt, hogy kiszámítsuk, hogyan ütköznek össze a részecskék, méghozzá anélkül, hogy a szokásos módon használt, gyakran nagyon összetett integrálszámításokat kezdtük volna alkalmazni. És itt jön a csoda: úgy gondoljuk, hogy ezek mögött az integrálok mögött olyan motívumok rejlenek, amelyekkel sokkal gyorsabban kiszámíthatók” – lelkesedik Francis Brown –. Ezt egyetlen fizikus sem vette észre. Grothendieck-nek kellett arra járnia!
E furcsa, a részecskék közt a motívumok által létrehozott szimmetria értelme nem tisztázott. De jól illusztrálja, hogy mennyi rejtélyt őriznek továbbra is a dió kedvelője által szakavatottan leszűrt koncepciók, és hogy mennyire le tudnak nyűgözni az ő archívumai.
Michel Raynaud emlékszik rá, hogy az 1960-as években, mikor autóval indult útjára Bures-sur-Yvette-i otthonába, azt mondta az ő szaggatott hangján, enyhe német akcentussal: „Olyan dolgokról gondolkozom, amelyek még ötven év múlva is foglalkoztatni fogják a matematikusokat!”
Ford., szerk: Jakabffy Imre, Jakabffy Éva