Honnan ered a matematika?

Legtöbbünk számára a matematika csak az iskolában központi kérdés, másutt a peremre szorul, mint egy való élettől elrugaszkodott, az alapszinten túl felfoghatatlanul elvont tudomány. Építményének magasságait inkább csodáljuk, mint szeretjük, s a felsőbb emeletek lakóit misztikus lényeknek érezzük, mivel nem osztozunk gondolataikban. Van-e egyáltalán szilárd talaja e matematikai építménynek, vagy csak lebeg a semmiben? És főleg, jó-e egyáltalán valamire? E kételyeket talán eloszlatná, ha lelki szemeink előtt hirtelen megjelenne az az ősünk, aki először jelölte és ásta ki az építmény helyét, majd az, aki első köveit lerakta.

Mezopotámiában, Uruk egyik templomának az i.e. 4. évezredből eredő agyagtábláin már találkozunk pontos mennyiségekkel, azaz számokkal. Mi különös van ebben, kérdezhetnénk. A számok önmagukban egyszerű jószágok, pláne, hogy részint éppen jószágok – például szarvasmarhák – számontartását szolgálták. Egyesével számlálni, ez igazán nem nagy teljesítmény, gondolhatnánk. Pedig éppen ez a matematika égbe nyúló építményének alapköve. Ehhez fel kellett fedezni a számokat, mint egymástól elkülönülő „entitásokat”. Hogyan is történt mindez?

Uruki kőtábla, i. e. 3200 körül

Elképzelhető, hogy mint minden újítás, a számok ötlete is egy zseniális – vagy több konzseniális – agyból pattant ki. Rájöhettek, hogy ily módon „számon” lehet tartani olyan dolgokat, amilyeneket addig nem: ki mivel tartozik; ki hány tehenet adott, és ezért hány zsák búza illeti meg; vagy hogy mikor lesznek a létfontosságú víznek bővében, mikor lesz itt az áradás vagy az esőzések ideje. Ebből aztán kialakultak a kereskedést segítő elszámolások (ilyen látható az uruki táblákon), illetve az első csillagászati naptárak is.

Egy ilyen áttekintés azonban szükségszerűen torzít; a lényeget emelve ki, lerövidíti az időt visszapillantásunk előtt. Mintha a számok – és a számokon alapuló kultúra – egyfajta emberi creatio ex nihilo (semmiből való teremtés) révén állt volna elő. Ilyen azonban csak kollektív tudattalanunkban létezik, amelynek mélyebb rétegeiben talán mindannyian ott találjuk a mitikus teremtéstörténet egy változatát. Az ilyen történetek egyetlen mozzanatba sűrítik bele azt, ami akár évezredek-évmilliók fejlődésének eredménye. Még ha igaz is, hogy a számokat egyszer csak kitalálták, ez a pillanat már csak egy végpontja volt a mennyiségekkel kapcsolatos tapasztalatok rendkívül hosszú időn és számtalan nemzedéken át történt felhalmozódásának. Az is lehet, hogy a számfogalom több helyen is megjelent; s hogy ez mikor történt először, erre éppoly nehéz pontos választ kapni, mint dátummal ellátni az első értelmes szót, vagy megállapítani, ki volt az, aki elsőként ajánlotta kedves halottját az égiek kegyébe. 

Két csont és egy végrendelet

Első látásra csak rovátkázott eszközökről van szó: olyan csontleletekről, amelyeknek nem sok közük van Pitagorasz tételéhez, de még az egyszerű elszámolásokhoz sem. Mindkét leletet Ishangóban, egy a Kongói Demokratikus köztársaságbeli kis faluban, a Nílus egyik legtávolabbi forrásvidékén találta 1960-ban Jean de Heinzelin de Braucourt belga geológus.

Jean de Heinzelin de Braucourt

Az első egy 10 centiméter körüli, enyhén ívelt csont, amelynek végébe kvarcdarabot illesztettek. Egyes források szerint oroszlántól származik. Először 8500 évesre becsülték; alaposabb vizsgálat azonban kiderítette, hogy jóval régebbi. A geológiai réteg ugyanis, amelyben kagylók és horgok közt megőrződött, 22 000 év körüli korra utal.

Hogy a geológus egy másik csontot is talált Ishangóban, ennek tudását egyelőre az emberi indiszkréciónak köszönhetjük. Heinzelin ugyanis halálos ágyán, 1998. november 4-én adta tudtára munkatársainak, hogy még egy csontlelet van a birtokában. Megbízta őket, hogy az erről készülő publikációját fejezzék be, majd post humus jelentessék meg, de mindvégig őrizzék végrendelete titkát. Utóbbit egy újságíró megszegte, így már a második csontnak is híre ment.

Eddigre azonban a tudósok már évtizedes vitákat folytattak le az első csontról. Az ezen látható rovátkák sora ugyanis már első benyomásra számolási tevékenységre emlékeztet, olyasfajtára, mint amikor függőleges, rövid vonásokat írunk, négyesével áthúzva. A vonások számokra fordíthatók, így a csonton a következő számsorokat kapjuk:

11, 21, 19, 9

11, 13, 17, 19

3, 6, 4, 8, 10, 5, 5, 7 

Egy Holdon járó hipotézis

A tudósok rögtön belelátták ezekbe a maguk elképzeléseit. Nemcsak matematikusokat foglalkoztatott a rejtély. A 70-es években Alexander Marshack amerikai újságíró nem kisebb megbízást kapott a NASA-tól, mint hogy írja meg a tudományok történetét. Ő arra jutott, hogy a tudományok – amelyek utóbb elvezettek a világűr meghódításához – bizony az ishangói csonttal kezdődtek. E sok ezer éves matematikai tárgyba úgy beleszeretett, hogy autodidakta régésszé képezte ki magát, s később szép kitüntetéseket is kapott. Vésett csontok százait tanulmányozta, majd arra jutott – nem hagyva helyet a minden tudományra jellemző kétségnek –, hogy az ishangói csont holdnaptár. Hisz az első két oszlop összege 60, azaz 2 holdhónap. A harmadik oszlop összege 48, azaz másfél holdhónap. A holdfázisokat a bevésések apró elhajlásai, vagy mélysége jelzik – ezek mikroszkóppal jól láthatók. Mindaz, amit az afrikai népekről tudunk, valamint a mikroszkopikus bizonyítási módszer gyengesége a hipotézist valószínűtlenné teszik. Ráadásul voltak és vannak sokkal jobb elméletek is. 

Kőkorszaki logarléc

Vladimir Pletser, az Európai Űrügynökség parabolarepüléseinek vezetője, és Dirk Huylebrouck matematikus (Hogeschool, Brüsszel) 1999-ben a Tsukuba egyetem kongresszusán új értelmezéssel álltak elő. Pletsernek eszébe jutottak a régi számológépek: ezek 2-3, egymás mellett csúsztatható rovátkázott pálcából álltak, s gyors számoláshoz használták őket pl. mérnökök, matematikusok. Egyik pálcáról a másikra átlépve lehetett látni a kapcsolatot a két pálcán lévő számok közt.

Éppígy az ishangói csonton! Itt a 3, 6, 4 a középső oszlopon található, összegük pedig, a 13 a mellette lévőn. Az 5, 5, 7 együtt 17, ez is egy szomszédos oszlopon szerepel. Ráadásul a bot könnyen kezelhető, egyik csoportról a másikra forgatni nyilvánvaló művelet.

Így a tudósok szerint a csont olyan emberek munkája lehet, akik 10-es és 12-es (vagy 6-os) alapot használtak. Az ilyen értelmezés jobban megfelel az afrikai számolási módszereknek, hiszen itt ma is vannak népcsoportok, amelyek 12-es alapon számolnak. A 12-es alapnak Európában is vannak maradványai: 1 év 12 hónap, 1 nap 2×12 óra, 1 óra 5×12 perc, a zodiákus 12 jelet tartalmaz.

Northcote Whitridge Thomas nyelvész még 1920-ban bukkant rá a nigériai yasguákra. Ők a számoknak 1-től 12-ig adtak külön nevet, majd a 13 12+1, a 14 12+2 és így tovább. Hasonlót Thomas csak Közép-Afrikában, a semliki völgyében talált – ez Ishangó vidéke is. Afrikában ugyan, mint nálunk, a 10-es alap az általános, de aritmetikai kreativitásuk más számolási módokban is megmutatkozik. Dél-Afrikában a 2-es alap egy változatát használják, másutt a 20-ast, 32-est, vagy éppen a 4-es és a 6-os keverékét.

Azáltal, hogy egyre nagyobb sokféleséget látunk, a csont egyre kevésbé rejtélyes. Egyszerű számolási eszköz, amilyet Afrikában ezrével találni botokon, köteleken, köveken. 

Emberevő számítások

Thomas ugyan 1920-ban még nem ismerhette az ishangói csontot, ennek ellenére felvetette, hogy kapcsolat lehet Nigéria, a semliki régió és Egyiptom között. Ezt a számnevek, a kultúra és a temetkezési szokások hasonlóságára alapozta. Mivel az egyiptomi számrendszer alapfeltétel volt a görög tudomány eredményeihez – és így számos más tudományos fejlődéshez –, lehet, hogy a mai világ, részben legalábbis, olyan népeknek adósa, amelyek ishangóban éltek. Akár így van, akár nem, figyelemre méltó, hogy a legrégebbi számrendszer-alkalmazás a középső kőkorszaki Közép-Afrikából származik. Európában semmilyen ásatás nem tárt fel hasonlót.

Mire használhatták a számolást a hagyományos közösségek? Heinzelin szerint olyan aktív, nagy létszámú csoportokban éltek, ahol a szomszédokkal, ellenségekkel számos viszonyt le kellett rendezni. Javakat felosztani a családok között, figyelembe véve a halászat eredményeit, a gyerekek számát, az egyének rangját. Viszonozni azt, amit a vadászok és a halászok hoztak. Rabszolgákat, rabokat, ehető áldozatokat – sőt kockázatot és hasznot – elosztani. A viszonyok e rendezésének módját adták át generációról generációra, amihez szükség lehetett számolóbotra is.

Mindez messze esik a történelem előtti vademberrel kapcsolatos elképzelésektől – ám tökéletesen megfelel a régészek mai, jócskán megváltozott nézeteinek. 

Fekete Athén

Heinzelin követői szerint a matematika afrikai eredetű, és lényeges kapcsolat állt fenn Fekete-Afrika és Egyiptom között. Martin Bernal sinológus (Cambridge) úgy véli, a szubszaharai Afrika Görögországot is elérte (Black Athena, 1990). Egyiptomban igen ritka az ilyen vélemény, az USÁban pedig sokat vitatkoznak arról, hogy az afrikaiak mennyire járultak hozzá a világ fejlődéséhez.

Eközben az ishangói csont egyre híresebb. Angliában Ishango Science Clubok alakulnak, hogy afrikai bevándorlók gyermekeit támogassák a matematika-tanulásban. A belgák a matematika évére (2000) bélyeget adnak ki rovátkákkal (ezeket vonalkódnak vélni szerencsés tévedés: a matematika Ishangóban ilyen vonalakkal indult, ma a szupermarketek kódjai ehhez térnek vissza). A Ruandában született belga filmrendező, George Kamanayo az ishangói csontról készít etnomatematikai „dokudrámát”, hogy új képet fessen Afrikáról. Többé ne a nyomor, esetleg a sport, a zene, vagy a szép tájak asszociálódjanak csupán hozzá, hanem a matematika is. A tudománynak immár el kell ismernie, hogy – akár túlzás a „fekete Athén”, akár nem –, a matematika „Termékeny Félholdban” történt kitalálását legalább tizenöt évezreddel előzte meg a számok megjelenése. 

Beszélő fosszíliák

Távolodjunk el egy pillanatra a konkrétumoktól, a számolásra utaló leletektől és az ezzel kapcsolatos leleményektől. Kérdezzünk másképp. Nem azt, hogy mióta vannak nyomai a matematikai tevékenységnek, hanem, hogy elvileg mióta képes erre az ember.

Mióta képes arra, hogy fogalmakat alkosson, ezekhez jeleket társítva? Tudjuk, bizonyos szinten az állatok is képesek rá, egyes példányok néhány számjelre is megtaníthatók, ahogy erről még lesz szó. De az elsajátítás nehézkes az emberhez viszonyítva, és maguktól az állatoknak nem sok késztetésük van ilyesmire. Mikortól válhatott a jelek, szimbólumok használata általánossá? A chauvet-i (Ardèche megye, Franciaország) barlangrajzok arra utalnak, hogy a Homo sapiens már 31 000 évvel ezelőtt komoly ábrázolási készséget mutatott fel. Ami azonban a legérdekesebb, hogy az állatcsoportok rajzai mellett szimbólumok – például kereszt – is láthatók. Mindez egyfajta kognitív „modernséget” sejtet. Az ennél korábbi őseinkkel nem sok mindenről tudtunk volna csevegni. Azokkal viszont, akik a lassú fejlődés folytán már rendelkeztek a szimbólumalkotás képességével, kis túlzással akár Einstein relativitáselméletéről is beszélgethettünk volna, persze csak ha tanultak volna róla az iskolában.

Mindez persze fikció marad, amíg nincs rá tárgyi bizonyíték. Márpedig az időben visszafelé haladva, a kultúra nyomai ritkulnak. Hová forduljunk, ha az egyre távolabbi múltból már nem üzennek sem csontra vésett rovátkák, sem barlangi festmények? Kérdezzük magukat a hajdani embereket – ha nem is maradt fenn belőlük több, mint egy-egy csontdarab. Ugyanis ha ezek a csontok koponyadarabok, merész paleoantropológusokat máris alapvető következtetésekre inspirálhatnak.

A „kognitíve modern” embernek ugyanis van egy különleges tulajdonsága: nagy agya csak nagy fejben fér el, ami azonban problémát jelentene a szülésnél. Így az embercsecsemő korábban jön világra, mint hogy agyának érése befejeződnék. Míg egy 13 éves csimpánz már felnőtt, az ember csak 20 éves kora felé az. Születési agytömege harmada a felnőttkorinak. Szemben például a makákó agyával, amely 1 éves korára „elkészül”, az emberi agyat serdülésig alakítják a külvilág hatásai. Ez is magyarázza nagyfokú szellemi aktivitásunkat.

A tudósnak tehát azt kell kikövetkeztetnie a koponyacsontokból, hogy azok hány éves emberektől származhattak. A gyerekeket összehasonlítva az ugyanakkor élt felnőttekkel pedig ki lehet deríteni, hány évet vett igénybe az adott hominida agyfejlődése.

Konkrétan: 2004-ben egy 1,6 millió éve élt Homo erectus gyermek fosszíliájának elemzéséből kiderült, hogy agyának mérete 1 éves korára már elérte a felnőttkorinak 80%-át. Vagyis a Homo erectus szellemi képességei messze nem érték el a mai szintet. És a Homo sapienséi? A legrégebbi gyermek Homo sapiens-lelet 160 ezer éves. Tavaly áprilisban Jean-Jacques Hublin (Max Planck Intézet, Lipcse) kimutatta, hogy ezen emberpalánta növekedési ritmusa megfelelt a mienknek.

S ha úgy 150-200 ezer éve őseink agya ugyanolyan adottságokkal rendelkezett, mint a miénk, akkor nem bolondság azt képzelni, hogy az emberek – jóval a mezopotámiaiak előtt, jóval Ishango egykori lakosai előtt – folytathattak olyan tevékenységet, amely már egyfajta matematikával rokon. 

Maroknyi indián

És fordítva: ma is találhatunk olyan embercsoportokat, amelyekben nem, vagy alig folytatnak ilyen tevékenységet. Az amazonasi őserdőkben, a brazíliai Pará államban élő mundurukuk 1-től 4-ig számolnak, de e felett már csak körülírásokat használnak, mint „sok”, „egy maroknyi”. Utóbbi éppúgy lehet 6, mint 7 vagy 5 – nekik nyolc…

Mundurukuk

Elszigetelt bennszülött törzs, amelyet nem befolyásol a fehér kultúra? Ilyet már alig találni. Valójában a mundurukuk 7000 körüli tagot számláló csoportja is 200 éve kapcsolatban áll a fehérekkel. Mint brazil állampolgárok, segélyt is kapnak a szövetségi kormánytól. Így „matematikailag szűz” agyuk még inkább rejtélyesnek tűnik.

Tényleg nem tudnának számolni? Pierre Pica nyelvész (CNRS, Francia Országos Tudományos Központ, Párizs) első hosszabb ott-tartózkodása után úgy találta, nemigen. Bár 3-ig jól megmondták, hány tárgyat látnak, de 4-nél már megoszlottak a vélemények. Volt ugyan, aki 4-et mondott, mások viszont 3-at, megint mások „maroknyit”.

Hazatérte után Pica és Stanislas Dehaene, a kísérleti kognitív pszichológia professzora (Collège de France) – aki ma a számérzék idegélettanának legfőbb szakértője – rafinált teszteket dolgoztak ki, hátha ezek számolásra bírják a mundurukukat. Talán ha nagy számú ponthalmazok különbsége 1 és 3 közé esik (amit ők is meg tudnak nevezni)… de nem, semmi eredmény.

És ha két halom magból kell eldönteni, melyik a több? Vagy dobozokba bedobott, majd kivett magokkal közelítő számításokat végezni? Utóbbi tesztekkel kiválóan el lehet választani a természetet és a kultúrát: ha a mundurukuknak van érzékük a számok becsléséhez, akkor gond nélkül válaszolnak, még ha a mennyiségek messze túl is esnek számneveik tartományán.

Válaszoltak is. A közelítő számolásban a mundurukuk – korra, iskolai évekre és portugáltudási szintre való tekintet nélkül – mind egyformán jók, sőt éppolyan jók, mint bármelyikünk. Nem tudnak számolni, de felismerik, ha egy halmaz elemszáma megváltozik, ha egy tárgyat elveszünk vagy hozzáteszünk. „A szám fogalma megelőzi a számot” – vonja le a következtetést Dehaene.

Ez arra utal, hogy a számolási becslés – vagy Dehaene kifejezésével „számérzék” – minden emberrel vele születik. A pontos összeadás vagy kivonás viszont már tanult, és erősen függ a nyelvtől.

Fennmarad azonban a kérdés: mi lehet az oka, hogy a mundurukuk nyelvében nem alakultak ki szavak a 4 feletti számlálásra? Talán nincs rá szükségük? Ők nem találkoznak tíz- vagy százezres, esetleg milliós nagyságrendű fizetésekkel, nem utaznak több száz kilométer távolságra és főleg nem kutatnak olyan csekély túlélési értékű információk után, mint hogy hány tíz- vagy százezer éve alakult ki a matematika. Nyelvükből még a többes szám is hiányzik: mintha a teljes munduruku kognitív rendszer „le lenne lakatolva” a pontos számolás előtt. 

Számérzéketlenség?

A másik oldalon találjuk azokat, akik mai, számokon alapuló kultúránknak – és főleg oktatási rendszerünknek – szenvedő alanyai. Őket a természet nem áldotta meg a becslés készségével, amely a mundurukukkal is velük születik. A diszkalkuliás, vagyis számolási zavarral élő emberek egy részének közelítő számításai különösek. Előfordul, hogy a legmagasabb budai hegyet 40 méteresre saccolják. (A diszkalkuliát ma már ki lehet szűrni, és a gyermek – aki ezzel együtt is lehet kimagaslóan intelligens – speciális képzésben részesül.) Még gyakoribb azonban, hogy a gyerek nem diszkalkuliás, mégis rossz matekos. Osztályzatai sokszor nem tükrözik képességeit. Ugyanez áll a különféle matematikai (és intelligencia) tesztekre is. Sok gyermek intelligenciája úgymond „gyakorlatias”. Ha egy matematikai feladvány megoldása nem egy szám lenne, hanem mondjuk egy ház jól megtervezett alaprajza vagy egy fogadás megszervezése, bizonyára túlszárnyalnák az „elméletieket” (ahogy az iskolán kívüli életben is).

Jó példái ennek a brazil nyomornegyedek utcán élő gyermekei, ahogy erre David Carraher (Pernambucói Egyetem, Brazília) lett figyelmes. Ők az iskolában többnyire gyengék matematikából, de saját közegükben bonyolult pénzügyi műveletekre képesek: üzletelnek, árucikkekkel kereskednek, kölcsönt vesznek fel, hiteleznek. Szinte hibátlanul számítják ki a kamatokat, az árrést vagy teljes árukészletük értékét. Carraher szerint a titok egyszerű: az iskolai matematikának nincs tétje, kézzelfogható haszna, ezért a feladatok értelmetleneknek tűnnek számukra. 

A számolás – evolúciós előny

A kulcs tehát az „értelem”, de ez egyénenként más és más. Egy ízig-vérig tudós elme számára a „tiszta” megismerés a lehető legértelmesebb elfoglaltság; hogy ez mennyire kifizetődő – lesz-e belőle eladható termék, illetve személyesen ő hogyan prosperál majd –, az már másodlagos. Épp ezért tartják hol felsőbbrendűnek, hol kicsit eltérőnek. Mitől? Attól az alapelvtől, hogy a megismerés saját közvetlen hasznunkat szolgálja. A legtöbb élőlény agya eszerint működik. Ha úgy találja, hogy egy „matematikai” feladványt érdemes megoldani, mert abból előny származik – például segít kiválasztani a dúsabb legelőt, az erősebb partnert –, akkor belevág és általában nem is hibázik. Mindez az állatoknak is megéri, mégsem tudnak számolni. Vagy mégis?

A majmok ugyan nem oldanak meg differenciálegyenleteket, nem ismerik a számtan szabályait, halvány fogalmuk sincs a mennyiségeken szimbólumokkal végzett műveletekről. Számérzéküket azonban ők is használják. Marc Hauser (Harvard Egyetem) vadon élő csimpánzoknál a következőt figyelte meg: mielőtt az ellenséget megtámadnák, kiértékelik, koalíciójuk eléggé számos-e. És nemcsak ők: a delfinek, az oroszlánok és még számos faj egyedei is így tesznek. 

Számos kísérlet

Robert Young (Kaliforniai Egyetem) 2002-ben 11 keverék kutyával végzett kísérleteket. A kutyáknak először jutalomfalat-halmokat mutattak, majd ezeket néhány perc után egy ernyő mögé rejtették. Némelyekből a kísérletvezetők elvettek, másokhoz hozzáadtak, a többit érintetlenül hagyták. Az ernyő elvétele után a kutyák sokkal tovább nézték azokat a halmokat, amelyeknél változás történt. Vagyis kódolták a darabszámokat, majd tárolták is emlékezetükben!

Figyelemre méltó a patkányok szám-affinitása is: ha például ahhoz, hogy megkapják a táplálékot, x-szer le kell nyomniuk egy billentyűt, majd egyszer egy másikat, képesek erre rátanulni (bár olykor hibáznak is).

2005-ös vizsgálatában Asif Ghazanfar (Princetoni Egyetem) rhesus majmoknak mutatott videókat, amelyeken 2 vagy 3 kiabáló majom volt látható. Ezzel együtt hangszalagról 2 vagy 3 majom kiáltozása szólt. A kísérleti állatok kimondottan érdeklődőbbek voltak, ha a hallott kiabálások száma egyezett a filmen látott arcokéval. Vagyis a majom képes volt különböző – látási és hallási – csatornákon kapott halmazokat egymással megfelelésbe hozni.

Persze a számolási képesség nem azért fejlődött ki az állatokban, hogy kognitív etológusok mesterkélt kísérleteiben álljanak helyt. Figyelmük elsősorban ragadozóikra, prédáikra vagy más élelemforrásokra, potenciális ellenkező nemű partnerekre és vetélytársakra irányul. Ha úgy döntenek, hogy élőhelyüket felcserélik egy másikkal, e sok tényezőt talán együtt is „számításba” tudják venni. Miért is ne? Hiszen egy ilyenfajta mérlegelés igencsak nagy evolúciós előnnyel járna. 

Alex lexikonja…

 …kétségkívül bámulatra méltó volt. Ez az afrikai szürkepapagáj, Irene Pepperberg harvardi állatpszichológus tulajdona és „múzsája”, 50 tárgyat és 7 színt, továbbá különféle anyagokat is tudott azonosítani. Zsenialitásáról – amelyhez napi 8-10 órás képzése is hozzájárult, s ezt szorozzuk be 3 évtizeddel – más állatcsodákkal szemben nem anekdoták vagy bestsellerek adtak hírt, hanem olyan szaklapok, mint pl. The Journal of Comparative Psychology.

Alex nemcsak hogy meg tudott számolni tárgyakat, hanem azt is megmondta, hogy az elé tett 5 kulcsból 2 nagy, 3 kicsi. De megbirkózott a „kisebb” és „nagyobb” fogalmával, valamint ő is képes volt modalitást váltani: 4 kék szövetlabdát sikeresen társított 4 zongorahanggal. Sőt a ‘4’ arab számot is felismerte.

2005-ben nagy tudományos szenzációt jelentett egy, a fent említett szaklapban közölt híradás: Alex spontán módon megalkotta a „semennyi” fogalmát. Pepperberg azt állította, hogy soha nem tanította erre. Csupán a szokásos módon számolási feladatokat adott neki: hány kockát lát a tálcán, és hasonlók. Egy alkalommal a tálcán nem volt kocka, és a kérdés így hangzott el. Alex nem jött zavarba, határozottan azt felelte: „non”, vagyis semennyi. Ismerte volna a nulla fogalmát? Ez túlzás; de a mennyiség hiányát észlelte. Ami nem is olyan különös, ha ismét a túlélési értékre gondolunk. Már hogyne volna hasznos egy madárnak, ha felismeri, hogy valami, ami ott is lehetne, nincs ott; vagy amiből valahány lehetne, abból nincs sehány. Cikkében Pepperberg is az evolúciósan kialakult számérzékre utal. Igen ám, de a papagájok ezen kívül még egy képességgel rendelkeznek: utánozni tudják az emberi nyelvet.

Valóban csak utánoznák? Ha Alex az ő ösztönös számérzékét használva felismerte a semennyit, és ennek megfelelő szóbeli kifejezését adta, akkor nyelvhasználata sokkal közelebb állt az emberéhez, mint azt a papagájokról hittük. Peppenberg kísérletei arra utalnak, hogy madarak is képesek lehetnek bizonyos szintű fogalomalkotásra és következtetésre. A tudósnő Alex intelligenciáját a delfinekével, az emberszabású majmokéval, valamint egy ötéves gyermekével helyezte egy szintre.

De vajon tényleg értette Alex, amit beszélt? Vagy csak azt a szót használta adott helyzetben, amiért megtanulta, hogy jutalmat kap, s a „non” szót esetleg csak véletlenül mondta ki? Néhány szkeptikus szerint igen. Ők a hajdani Okos Hans nevű ló esetére figyelmeztetnek. Hansról úgy tűnt, hogy bonyolult számításokat – például törtek összeadását – is el tudja végezni (annyit dobbantott patájával, amennyi az eredmény), de valójában a kiképzője által öntudatlanul leadott, apró gesztusjeleket követve hagyta abba jókor a dobogást.

Ám Alex nyelvhasználata még a kételkedőket is gondolkodóba ejtheti. Például ezt mondta: „akar banánt”, s ha ehelyett mogyorót vittek neki, sértetten magába gubózott, vagy ismét banánt kért; vagy esetleg elvette a mogyorót és a kutató felé hajította. Felingerelte az is, ha a kísérletek túl sokszor ismétlődtek; ilyenkor azt mondta: „elmegyek”, majd gazdája csalódottságát látva „elnézést” kért. 

Számidegsejtek

Hol lakik a számérzék? Az idegrendszerben – de vajon sejtek millióinak bonyolult hálózata dolgozza fel a mennyiségeket, vagy kifejezetten a számokra szakosodott idegsejtek? Az nyilvánvaló, hogy a kortárs matematika feladványaival e „szakbarbár” idegsejtek önmagukban nem boldogulnának; sőt azokat fel sem fognák. De léteznek-e egyáltalán?

Úgy tűnik, egyszerűbb élőlényeknél igen. Gary Rose biológus (Utahi Egyetem) fakúszó békák egyik fajánál (Hyla regilla) talált rájuk, méghozzá a hallásközpontban. E béka hímje kétféle hangjelzéssel él: az egyikkel a többi hímet riogatja, a másikkal nőstényeket csábít. Nos, e két jelzés teljesen egyforma, kivéve a brekegés ritmusát. A kérdéses idegsejtek épp arra jók, hogy a hallgatóság az eltérést érzékelje. A nőstények ezen idegsejtjei például csak akkor jeleznek, ha legalább 5 gyors hangot hallottak. Amennyiben a hangok a megfelelő sebességnél is gyorsabban, vagy lassabban követik egymást, a nőstények „számlálója” lenullázódik.

Fakúszó béka

Ugorjunk a békától kicsit messzebbre, olyan élőlényekhez, amelyek agyfelépítése jóval bonyolultabb. Náluk is egy-egy sejt végezné el az alapvető számításokat? Dehaene 1993-as hipotézise szerint a különféle mennyiségeket más és más idegsejtek kódolják, például egyes idegsejtek „kigyulladnak” 4-re és 5-re, de 6-ra nem.

Mindez 10 évig spekuláció maradt. Míg végre 2002-ben Andreas Nieder (Tübingeni egyetem) és Earl Miller (Massachusettsi Technológiai Intézet, MIT) elhatározták, hogy a hipotézist „matematikus” majmok agyának vizsgálatával tesztelik. A két kutató az emberi prefrontális (elülső homloklebeny) és intraparietális (fali lebeny egyik része) agykéregnek megfelelő helyeire kötöttek elektródákat kísérleti állataikon, és olyan papírlapokat mutattak nekik, amelyeken 1, 2, 3, 4 vagy 5 foltot láthattak. Az eredmény meggyőző: e kérgi területek idegsejtjeinek 20 százaléka „számspecialista”, vagyis csak a számosságra érzékeny, az alak, a méret és a szín hidegen hagyja. 

Nagy számoknál jobban nagyolunk

Dehaene jóslata bevált: a számidegsejtek közül egyesek jobban aktiválódtak 3, mások 5 folt láttán. Pontosabban, minden sejtnek van egy „kedvenc” száma (pl. 3), melynél mindig ingerületbe jön; majd ettől távolodva egyre kevésbé hajlandó reagálni (tehát a 2-re és a 4-re inkább, mint az 1-re és az 5-re). Így azonban a sejtek aktivációi közt bizonyos átfedések jönnek létre. Ezek magyarázzák a mundurukuk esetében is az egymás melletti számok gyakori keverését; de ugyanez igaz az állatokra és a számolni még nem tudó gyermekekre is. Ha utóbbiaknak 20 és 19 golyó közt kell választani, melyik a több, gyakran tévesztenek (csokigolyók esetén ritkábban…) Ezt nevezik „távolsági hatásnak”.

Éppígy érvényesül a „nagyság-hatás” is: minél nagyobbak a számok (többeleműek a halmazok), annál nehezebb különbséget tenni köztük. 7 és 8 golyó könnyebben megy, mint 70 és 72. Evidens, de miért is? Mert a nagyobb számok idegsejtjei nem túl jók a megkülönböztetés terén. A 102-es idegsejtnek (ha van ilyen egyáltalán) a 97 vagy a 110 is majd úgy megfelel, mint maga a 102. A 2-es idegsejtnek azonban nem jön szóba a 10, a mínusz 3-mal pedig köszönő viszonyban sincs.

Egyelőre nincs konkrét bizonyíték arra, hogy az emberi agyban is léteznek szám-neuronok – de több, mint valószínű. Először is, amint említettük, a távolság- és nagyság hatás fajtánk esetében is érvényesül. Másodszor, Dehaene és munkatársa kimutatta, hogy „számtani” ingerekre – legyenek azok pontok vagy számjegyek – rendre a fali lebeny egy része jön ingerületbe, méghozzá ugyanaz, mint amelyben a makákóknál a számidegsejteket megfigyelték.

És a „magasabb” matematika? Ennek elsajátításakor az egyszerű „számérzék” helyét egy bonyolultabb „matematikai érzék” foglalja el. Valószínű, hogy ekkor a számidegsejtek kapcsolásokat létesítenek a számok írott jeleit kódoló idegsejtekkel. A homloklebeny sem marad feladat nélkül, sőt: minél „becsapósabb” a feladat, annál inkább résen kell lennie. Ez a lebeny azonban lassabban érik a többinél; ennek is tulajdonítható a következő jelenség.

A 6-7 éves gyerekektől megkérdezik: „A hajón 12 fekete tehén és 10 tarka tehén van. Hány éves a kapitány?” A legtöbben szépen kiszámolják: 22. Nem azzal kellene kezdeni a matematika oktatását: „előbb gondolkozz, aztán számolj”? 

Jakabffy Éva