Jakabffy Éva, IPM, 2008. december
A cikk előző része itt olvasható.
Maroknyi indián
Ma is találhatunk olyan embercsoportokat, amelyekben nem, vagy alig folytatnak ilyen tevékenységet. Az amazonasi őserdőkben, a brazíliai Pará államban élő mundurukuk 1-től 4-ig számolnak, de e felett már csak körülírásokat használnak, mint „sok”, „egy maroknyi”. Utóbbi éppúgy lehet 6, mint 7 vagy 5 – nekik nyolc…
Elszigetelt bennszülött törzs, amelyet nem befolyásol a fehér kultúra? Ilyet már alig találni. Valójában a mundurukuk 7000 körüli tagot számláló csoportja is 200 év óta áll kapcsolatban a fehérekkel. Mint brazil állampolgárok, segélyt is kapnak a szövetségi kormánytól. Így „matematikailag szűz” agyuk még inkább rejtélyesnek tűnik.
Tényleg nem tudnának számolni? Pierre Pica nyelvész (CNRS, Francia Országos Tudományos Központ, Párizs) első hosszabb ott-tartózkodása után úgy találta, nemigen. Bár 3-ig jól megmondták, hány tárgyat látnak, de 4-nél már megoszlottak a vélemények. Volt ugyan, aki 4-et mondott, mások viszont 3-at, megint mások maroknyit…
Hazatérte után Pica és Stanislas Dehaene, a kísérleti kognitív pszichológia professzora (Collège de France)
– aki ma a számérzék idegélettanának legfőbb szakértője – rafinált teszteket dolgozott ki, hátha ezek számolásra bírják a mundurukukat. Talán ha nagyszámú ponthalmazok különbsége 1 és 3 közé esik (amit ők is meg tudnak nevezni)… de nem, semmi eredmény.És ha két halom magból kell eldönteni, melyik a több? Vagy dobozokba bedobott, majd kivett magokkal közelítő számításokat végezni? Utóbbi tesztekkel kiválóan el lehet választani a természetet és a kultúrát: ha a mundurukuknak van érzékük a számok becsléséhez, akkor gond nélkül válaszolnak, még ha a mennyiségek messze túl is esnek számneveik tartományán. Válaszoltak is. A közelítő számolásban a mundurukuk – korra, iskolai évekre és portugáltudási szintre való tekintet nélkül – mind egyformán jók, sőt éppolyan jók, mint bármelyikünk. Nem tudnak számolni, de felismerik, ha egy halmaz elemszáma megváltozik, ha egy tárgyat elveszünk vagy hozzáteszünk.
A szám fogalma megelőzi a számot – vonja le a következtetést Dehaene. Ez arra utal, hogy a számolási becslés – vagy Dehaene kifejezésével „számérzék” – minden emberrel vele születik.
A pontos összeadás vagy kivonás viszont már tanult, és erősen függ a nyelvtől. Fennmarad azonban a kérdés: mi lehet az oka, hogy a mundurukuk nyelvében nem alakultak ki szavak a 4 feletti számlálásra? Talán nincs rá szükségük? Ők nem találkoznak tíz- vagy százezres, esetleg milliós nagyságrendű fizetésekkel, nem utaznak több száz kilométer távolságra és főleg nem kutatnak olyan csekély túlélési értékű információk után, mint hogy hány tíz- vagy százezer éve alakult ki a matematika. Nyelvükből még a többes szám is hiányzik: mintha a teljes munduruku kognitív rendszer – így a nyelv is – „le lenne lakatolva” a pontos számolás előtt.
Számérzéketlenség?
A másik oldalon találjuk azokat, akik mai, számokon alapuló kultúránknak – és főleg oktatási rendszerünknek – szenvedő alanyai. Őket a természet nem áldotta meg a becslés készségével, amely a mundurukukkal is velük születik. A diszkalkuliás, vagyis számolási zavarral élő emberek egy részének közelítő számításai különösek: a legmagasabb budai hegyet pl. 40 méteresre saccolják. (A diszkalkuliát ma már ki lehet szűrni, és a gyermek – aki ezzel együtt is lehet kimagaslóan intelligens – speciális képzésben részesül.) Még gyakoribb azonban, hogy a gyerek nem diszkalkuliás, mégis rossz matekos. Osztályzatai sokszor nem tükrözik képességeit. Ugyanez áll a különféle matematikai (és intelligencia) tesztekre is. Sok gyermek intelligenciája úgymond „gyakorlatias”. Ha egy matematikai feladvány megoldása nem egy szám lenne, hanem mondjuk egy ház jól megtervezett alaprajza vagy egy fogadás megszervezése, bizonyára túlszárnyalnák az „elméletieket” (ahogy az iskolán kívüli életben is).
Jó példái ennek a brazil nyomornegyedek utcáin élő gyermekek, ahogy erre David Carraher (Pernambucói Egyetem, Brazília) lett figyelmes. Ők az iskolában többnyire gyengék matematikából, de saját közegükben bonyolult pénzügyi műveletekre képesek: üzletelnek, árucikkekkel kereskednek, kölcsönt vesznek fel, hiteleznek.
Szinte hibátlanul számítják ki a kamatokat, az árrést vagy teljes árukészletük értékét. Carraher szerint a titok egyszerű: az iskolai matematikának nincs tétje, kézzelfogható haszna, ezért a feladatok értelmetleneknek tűnnek számukra.
Evolúciós előny
A kulcs tehát az „értelem”, de ez egyénenként más és más. Egy ízig-vérig tudós elme számára a „tiszta” megismerés a lehető legértelmesebb elfoglaltság; hogy ez mennyire kifizetődő – lesz-e belőle eladható termék, illetve személyesen ő hogyan prosperál majd –, az már másodlagos. Épp ezért tartják hol felsőbbrendűnek, hol kicsit eltérőnek. Mitől? Attól az alapelvtől, hogy a megismerés saját közvetlen hasznunkat szolgálja. A legtöbb élőlény agya eszerint működik. Ha úgy találja, hogy egy „matematikai” feladványt érdemes megoldani, mert abból előny származik – például segít kiválasztani a dúsabb legelőt, az erősebb partnert –, akkor belevág és általában nem is hibázik. Mindez az állatoknak is megéri, mégsem tudnak számolni. Vagy mégis?
A majmok ugyan nem oldanak meg differenciálegyenleteket, nem ismerik a számtan szabályait, halvány fogalmuk sincs a mennyiségeken szimbólumokkal végzett műveletekről, számérzéküket azonban ők is használják. Marc Hauser (Harvard Egyetem) vadon élő csimpánzoknál a következőt figyelte meg: mielőtt az ellenséget megtámadnák, kiértékelik, koalíciójuk eléggé számos-e. És nemcsak ők: a delfinek, az oroszlánok és ki tudja még, milyen fajok is így tesznek. Vagyis a majom képes különböző – látási és hallási – csatornákon kapott halmazokat egymással megfelelésbe hozni.
Persze a számolási képesség nem azért fejlődött ki az állatokban, hogy kognitív etológusok mesterkélt kísérleteiben álljanak helyt. Figyelmük elsősorban ragadozóikra, prédáikra vagy más élelemforrásokra, potenciális ellenkező nemű partnerekre és vetélytársakra irányul. Ha úgy döntenek, hogy élőhelyüket felcserélik egy másikkal, e sok tényezőt talán együtt is „számításba” tudják venni. Miért is ne? Hiszen egy ilyenfajta mérlegelés igencsak nagy evolúciós előnnyel járna.
Számos kísérlet
Robert Young (Kaliforniai Egyetem) 2002-ben 11 keverék kutyával végzett kísérleteket. A kutyáknak először jutalomfalat-halmokat mutattak, majd ezeket néhány perc után egy ernyő mögé rejtették. Némelyekből a kísérletvezetők elvettek, másokhoz hozzáadtak, a többit érintetlenül hagyták. Az ernyő elvétele után a kutyák sokkal tovább nézték azokat a halmokat, amelyeknél változás történt. Vagyis kódolták a darabszámokat, majd tárolták is emlékezetükben!
Figyelemre méltó a patkányok szám-affinitása is: ha például ahhoz, hogy megkapják a táplálékot, x-szer le kell nyomniuk egy billentyűt, majd egyszer egy másikat, képesek erre rátanulni (bár olykor hibáznak is).
2005-ös vizsgálatában Asif Ghazanfar (Princetoni Egyetem) rhesus majmoknak mutatott videókat, amelyeken 2 vagy 3 kiabáló majom volt látható. Ezzel együtt hangszalagról 2 vagy 3 majom kiáltozása szólt. A kísérleti állatok kimondottan érdeklődőbbek voltak, ha a hallott kiabálások száma egyezett a filmen látott arcokéval. Vagyis a majom képes volt különböző – látási és hallási – csatornákon kapott halmazokat egymással megfelelésbe hozni.
Persze a számolási képesség nem azért fejlődött ki az állatokban, hogy kognitív etológusok mesterkélt kísérleteiben álljanak helyt. Figyelmük elsősorban ragadozóikra, prédáikra vagy más élelemforrásokra, potenciális ellenkező nemű partnerekre és vetélytársakra irányul. Ha úgy döntenek, hogy élőhelyüket felcserélik egy másikkal, e sok tényezőt talán együtt is „számításba” tudják venni. Miért is ne? Hiszen egy ilyenfajta mérlegelés igencsak nagy evolúciós előnnyel járna.
Alex lexikonja…
…kétségkívül bámulatra méltó volt. Ez az afrikai szürkepapagáj, Irene Pepperberg harvardi állatpszichológus tulajdona és „múzsája”, 50 tárgyat és 7 színt, továbbá különféle anyagokat is tudott azonosítani. Zsenialitásáról – amelyhez napi 8-10 órás képzése is hozzájárult, s ezt szorozzuk be 3 évtizeddel – más állatcsodákkal szemben nem anekdoták vagy bestsellerek adtak hírt, hanem olyan szaklapok, mint pl. The Journal of Comparative Psychology.
Alex nemcsak hogy meg tudott számolni tárgyakat, hanem azt is megmondta, hogy az elé tett 5 kulcsból 2 nagy, 3 kicsi. De megbirkózott a „kisebb” és „nagyobb” fogalmával, valamint ő is képes volt modalitást váltani: 4kék szövetlabdát sikeresen társított 4 zongorahanggal. Sőt a ‘4’ arab számot is felismerte.
2005-ben nagy tudományos szenzációt jelentett egy, a fent említett szaklapban közölt híradás:Alex spontán módon megalkotta a „semennyi” fogalmát. Pepperberg azt állította, hogy soha nem tanította erre. Csupán a szokásos módon számolási feladatokat adott neki: hány kockát lát a tálcán, és hasonlók. 
Egy alkalommala tálcánnem volt kocka, és a kérdés így hangzott el. Alex nem jött zavarba, határozottan azt felelte: „non”, vagyis semennyi. Ismerte volna a nulla fogalmát? Ez túlzás; de a mennyiség hiányát észlelte. Ami nem is olyan különös, ha ismét a túlélési értékre gondolunk. Már hogyne volna hasznos egy madárnak, ha felismeri, hogy valami, ami ott is lehetne, nincs ott; vagy amiből valahány lehetne, abból nincs sehány. Cikkében Pepperberg is az evolúciósan kialakult számérzékre utal. Igen ám, de a papagájok ezen kívül még egy képességgel rendelkeznek: utánozni tudják az emberi nyelvet.
Valóban csak utánoznák? Ha Alex az ő ösztönös számérzékét használva felismerte a semennyit, és ennek megfelelő szóbeli kifejezését adta, akkor nyelvhasználata sokkal közelebb állt az emberéhez, mint azt a papagájokról hittük. Peppenberg kísérletei arra utalnak, hogy madarak is képesek lehetnek bizonyos szintű fogalomalkotásra és következtetésre. A tudósnő Alex intelligenciáját a delfinekével, az emberszabású majmokéval, valamint egy ötéves gyermekével helyezte egy szintre.
De vajon tényleg értette Alex, amit beszélt? Vagy csak azt a szót használta adott helyzetben, amiért megtanulta, hogy jutalmat kap, s a „non” szót esetleg csak véletlenül mondta ki? Néhány szkeptikus szerint igen. Ők a hajdani Okos Hans nevű ló esetére figyelmeztetnek. Hansról úgy tűnt, hogy bonyolult számításokat – például törtek összeadását – is el tudja végezni (annyit dobbantott patájával, amennyi az eredmény), de valójában a kiképzője által öntudatlanul leadott, apró gesztusjeleket követve hagyta abba jókor a dobogást.
Ám Alex nyelvhasználata még a kételkedőket is gondolkodóba ejtheti. Például ezt mondta:„akar banánt”, s ha ehelyett mogyorót vittek neki, sértetten magába gubózott, vagy ismét banánt kért; vagy esetleg elvette a mogyorót és a kutató felé hajította.Felingerelte az is, ha a kísérletek túl sokszor ismétlődtek; ilyenkor azt mondta: „elmegyek”, majd gazdája csalódottságát látva „elnézést” kért…
Számidegsejtek
Hol lakik a számérzék? Az idegrendszerben – de vajon sejtek millióinak bonyolult hálózata dolgozza fel a mennyiségeket, vagy kifejezetten a számokra szakosodott idegsejtek? Az nyilvánvaló, hogy a kortárs matematika feladványaival e „szakbarbár” idegsejtek önmagukban nem boldogulnának; sőt azokat fel sem fognák. De léteznek-e egyáltalán?Úgy tűnik, egyszerűbb élőlényeknél igen. Gary Rose biológus (Utahi Egyetem) fakúszó békák egyik fajánál (Hyla regilla) talált rájuk, méghozzá a hallásközpontban. E béka hímje kétféle hangjelzéssel él: az egyikkel a többi hímet riogatja, a másikkal nőstényeket csábít. Nos, e két jelzés teljesen egyforma, kivéve a brekegés ritmusát. A kérdéses idegsejtek épp arra jók, hogy a hallgatóság az eltérést érzékelje. A nőstények ezen idegsejtjei például csak akkor jeleznek, ha legalább 5 gyors hangot hallottak. Amennyiben a hangok a megfelelő sebességnél is gyorsabban, vagy lassabban követik egymást, a nőstények „számlálója” lenullázódik.
Ugorjunk a békától kicsit messzebbre, olyan élőlényekhez, amelyek agyfelépítése jóval bonyolultabb. Náluk is egy-egy sejt végezné el az alapvető számításokat? Dehaene 1993-as hipotézise szerint a különféle mennyiségeket más és más idegsejtek kódolják, például egyes idegsejtek „kigyulladnak” 4-re és 5-re, de 6-ra nem. Mindez 10 évig spekuláció maradt. Míg végre 2002-ben Andreas Nieder (Tübingeni Egyetem) és Earl Miller (Massachusettsi Technológiai Intézet, MIT) elhatározták, hogy a hipotézist „matematikus” majmok agyának vizsgálatával tesztelik. A két kutató az emberi prefrontális (elülső homloklebeny) és intraparietális (fali lebeny egyik része) agykéregnek megfelelő helyeire kötöttek elektródákat kísérleti állataikon, és olyan papírlapokat mutattak nekik, amelyeken 1, 2, 3, 4 vagy 5 foltot láthattak. Az eredmény meggyőző: e kérgi területek idegsejtjeinek 20 százaléka „számspecialista”, vagyis csak a számosságra érzékeny, az alak, a méret és a szín hidegen hagyja.
Jobban nagyolunk
Dehaene jóslata bevált: a számidegsejtek közül egyesek jobban aktiválódtak 3, mások 5 folt láttán. Pontosabban, minden sejtnek van egy „kedvenc” száma (pl. 3), melynél mindig ingerületbe jön; majd ettől távolodva egyre kevésbé hajlandó reagálni (tehát a 2-re és a 4-re inkább, mint az 1-re és az 5-re). Így azonban a sejtek aktivációi közt bizonyos átfedések jönnek létre. Ezek magyarázzák a mundurukuk esetében is az egymás melletti számok gyakori keverését; de ugyanez igaz az állatokra és a számolni még nem tudó gyermekekre is. Ha utóbbiaknak 20 és 19 golyó közt kell választani, melyik a több, gyakran tévesztenek (csokigolyók esetén ritkábban…) Ezt nevezik távolsági hatásnak.Éppígy érvényesül a nagysághatás is: minél nagyobbak a számok (többeleműek a halmazok), annál nehezebb különbséget tenni köztük. 7 és 8 golyó könnyebben megy, mint 70 és 72. Evidens, de miért is? Mert a nagyobb számok idegsejtjei nem túl jók a megkülönböztetés terén. A 102-es idegsejtnek (ha van ilyen egyáltalán) a 97 vagy a 110 is majd úgy megfelel, mint maga a 102. A 2-es idegsejtnek azonban nem jön szóba a 10, a mínusz 3-mal pedig köszönő viszonyban sincs.
Egyelőre nincs konkrét bizonyíték arra, hogy az emberi agyban is léteznek szám-neuronok – de több, mint valószínű.
Először is, amint említettük, a távolság- és nagysághatás fajtánk esetében is érvényesül. Másodszor, Dehaene és munkatársa kimutatta, hogy számtani ingerekre – legyenek azok pontok vagy számjegyek – rendre a fali lebeny
egy része jön ingerületbe, méghozzá ugyanaz, mint amelyben a makákóknál a számidegsejteket megfigyelték.
És a magasabb matematika? Ennek elsajátításakor az egyszerű számérzék helyét egy bonyolultabb matematikai érzék foglalja el. Valószínű, hogy ekkor a számidegsejtek kapcsolásokat létesítenek a számok írott jeleit kódoló idegsejtekkel. A homloklebeny sem marad feladat nélkül, sőt: minél becsapósabb a feladat, annál inkább résen kell lennie. Ez a lebeny azonban lassabban érik a többinél; ennek is tulajdonítható a következő jelenség.A 6–7 éves gyerekektől megkérdezik: „A hajón 12 fekete tehén és 10 tarka tehén van. Hány éves a kapitány?” A legtöbben szépen kiszámolják: 22. Nem azzal kellene kezdeni a matematika oktatását: „előbb gondolkozz, aztán számolj”?
Kommentek
Kommenteléshez kérlek, jelentkezz be: