Matt a matematikának?

A racionális elme határa

Jakabffy Éva, IPM 2006. március

Brian Davies matematikus-filozófusnak a mai matematika válságairól írt cikke – melynek címe: Merre tart a matematika? – már azelőtt nagy port vert fel, mielőtt még egy tekintélyes szaklapban megjelent volna. Nem véletlenül: a matematika válságai téma sokkal nagyobb hírértékkel rendelkezik, mint a matematika bármely sikere. Miért is? Azért, mert a matematika a laikusok szemében megdönthetetlen és biztos bástya. Ennek oka elsősorban a matematikai iskolázás, ez ugyanis olyan képletekre tanít, amelyekben nem ildomos kételkedni – ellenben nem sok szó esik a matematikatörténet híres paradoxonjairól, vagy pláne válságairól. Ez a fajta iskola még mindig azt a 19. századi elképzelést plántálja a nemzedékekbe, hogy a matematika a megkérdőjelezhetetlen igazságot testesíti meg.

De miért kerülhet válságba a matematika? Azért, mert fejlődik. És ahogy fejlődik, időről időre elérkezik saját határához, vagy legalábbis a matematikus értelem, a racionális elme határához. Méghozzá éppen a racionalitás útjain ér el ide.

Ez történik akkor, amikor a matematikában paradoxonok ütik fel a fejüket. Ezek közül a leghíresebb – a Russell-féle paradoxon – közkeletű tálalásban így hangzik:

A hadsereg borbélya a hadsereg azon tagja, aki csapatában köteles mindazokat borotválni, akik egyedül nem borotválkoznak. Időkímélés okán azonban tilos borotválnia azokat, akik egyedül borotválkoznak.
A kérdés: ez a katona borotválja-e önmagát, vagy sem? Ha igen, akkor ő egyike azoknak, akik egyedül borotválkoznak, viszont mint ilyet, tilos lenne önmagát megborotválnia. Ha nem, akkor ő is azok közé tartozik, akik nem borotválkoznak egyedül; de mint ilyet, köteles magát megborotválnia. Nincs mit tennie.

A Russell-paradoxon valójában persze nem a századborbélyról szól, hanem halmazokról. A paradoxon arra mutat rá, hogy a halmazelméletben súlyos ellentmondás bukkant fel.
A Russell-paradoxon egy szigorítási hullámot indított el a matematikán belül. A legjelentősebb ilyen kísérlet David Hilbert programja. Hilbert élete utolsó 20 évében egy olyan formális rendszeren dolgozott, amely ellentmondásmentes, és amelynek keretei közt a rendszeren belüli összes igaz állítás levezethető. E levezetéshez pedig nincs szükség másra, mint igaznak ismert állításokra (axiómákra) és következtetési szabályokra.

A matematika megszigorítása – ahogy Péter Rózsa fogalmaz –, olyan, mintha egy kerítést építenénk, hogy a farkasokat kirekesszük a bárányok közül. Egyik ilyen „kerítés” esetében sem lehetünk azonban biztosak, hogy vajon nem rekedt-e kívül bárány – ráadásul sok és értékes bárány? Másfelől, nem maradt-e bent farkas?

Simonovits Miklós matematikus

Bizony, hogy maradt bent farkas. Épp mikor végre úgy tűnt, minden jó úton halad, a 30-as évek közepén Hilbert bizonyításelméletét romba döntötte Kurt Gödel nemteljességi tétele. Ez a híres tétel azt mondja ki, hogy bármely formális rendszer (köztük az aritmetika) szükségképpen tartalmaz olyan állítást, amelynek igazsága vagy hamissága nem vezethető le az axiómákból. Vagyis olyan állítást, amely se nem bizonyítható, se nem cáfolható: eldönthetetlen.
A gödeli állítások jellemzője, hogy önmagukra mutatnak rá, például így:

Ennek az állításnak ebben a rendszerben nincs bizonyítása.

Nem olyan ez, mint az ősrégi paradoxonok, például a közismert „hazug” antinómia: „Ez az állítás hamis”? Akkor mi az új a Gödel-tételben, s főleg miért tekintik úgy, hogy ez váltotta ki a 20. századi matematika első nagy válságát?

Azért, mert – ahogy Benczúr András, az ELTE matematikusa megjegyzi –, immár matematikai tétel formáját öltötte az az állítás, hogy nem lehet mindennek a helyességét bizonyítani.
Az a kijelentés, hogy „Ez az állítás hamis”, természetes nyelvi kijelentés. Ezzel szemben a gödeli állítás formális nyelven fogalmazódik meg, és Gödel nemteljességi tétele minden formális rendszerre igaz. A Gödel-tétel tehát egy olyan erőd közepén jelent meg, amelynek célja éppen az volt, hogy kívül tartsa az ilyen típusú bizonyításokat. 

Ráadásul a matematika számára alapvető állításokról derült ki, hogy azok valójában „gödeliek”.
Az egyik ilyen a párhuzamossági axióma:

Bolyai, illetve Lobacsevszkij 1823-ban felismerte: Euklidésznek az az állítása, hogy egy ponton csak egy olyan egyenes húzható, amely párhuzamos egy másik egyenessel, gödeli a többi axiómához képest. Tudtak egy olyan rendszert készíteni, amelyben valamennyi euklidészi axióma ugyanúgy érvényes volt, kivéve a párhuzamosságit: egy ponton két párhuzamost lehetett húzni. Logikai eszközökkel nem dönthető el, hogy melyik geometria az igazi, melyik írja le a való világot – igaz ugyan, hogy egy matematikán kívüli elméletben, Einstein fizikai rendszerében a világ nem euklidészinek bizonyult, tehát ez a gödeli kérdés nagyon érdekes problémát tartalmazott.

Mérő László pszichológus, matematikus

A másik olyan lényeges állítás, amely „gödelinek” bizonyult, a matematikusok által nap mint nap használt kontinuum-hipotézis:

A megszámlálható végtelen – azaz az egész számok – és a megszámlálhatatlan végtelen – egy egyenes pontjai, illetve a „kontinuum számosság” – között nincs további számosság.
(Az, hogy egy egyenes pontjai többen vannak, mint az egész számok, bizonyított: mivel nem létesíthető köztük kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés.)
A kontinuum-hipotézis a matematika eszközeivel megoldhatatlannak bizonyult. Kurt Gödel 1941-ben igazolta, hogy a VAN választ nem lehet bizonyítani, Cohen pedig 1963-ban azt, hogy a NINCS válasz sem bizonyítható.
Nos, a kontinuum-hipotézis nélkül a matematika sokkal bonyolultabb, nehezebben kezelhető lenne…

S. M.

A matematika története során néhány tízmillió komolyabb vizsgálatra érdemes probléma merült fel, ezek között csak néhány tucatnyi a gödeli, de kevésbé gondosan szerkesztett területeken nyilván már gyakoribbak lehetnek. A molekuláris biológia gödeli problémája például így szól:

„Minden sejthez létezik egy olyan DNS-fonal, amely ha bekerül a sejtbe, az átírási folyamatok során olyan proteinek keletkeznek, melyek szétrombolják a sejtet (retrovírusok).”
Hasonló mechanizmus figyelhető meg a számítógépes vírusoknál vagy a fegyverkezési verseny támadó és védekező fegyvereinél. …
[De nemcsak tudományos területekről lehet párhuzamokat felhozni.] A Zen egyik alaptézise, hogy semmiféle módon nem lehet meghatározni, mi a Zen, és természetesen ez a meghatározás is helytelen – tipikus gödeli kérdés. A Zen tanmeséi, a meditáció, a kolostori élet mind a világ gödeli természetének felismerését, megélését célozza, felülemelkedést a hétköznapi dolgokon.

M. L.

A Gödel-tétel tehát, azon kívül, hogy a matematika első nagy válságát jelentette, megmozgatta az emberek fantáziáját: egy népszerű könyv is született róla – D. F. Hofstadter Gödel, Escher, Bach című műve, amely a Gödel-tétel képzőművészeti és zenei analógiáit is bekapcsolva a gondolatkörbe, az öntudat kialakulásának kérdését járja körül. A Gödel-tétel, a Bach-fúgák vagy éppen Escher „lehetetlen ábrái” e komputertudós szerint mind ugyanazt a mélyebb igazságot fejezik ki: azt, hogy ha egy rendszer kellőképpen bonyolulttá és összetetté válik, abban hirtelen szükségszerűen meg kell jelenjen – önmaga.
A Gödel-tétel tehát egészen különféle területek eltérő felfogású művelőit inspirálta továbbgondolásra.
Érdekes módon, tulajdonképpen maguk a matematikusok foglalkoztak vele a legkevésbé. Gödel-tétel nélkül, vagy azzal együtt, a matematika nagy része továbbra is működőképes volt. Tehát a Gödel-tétel hatása maga is paradox. Megrázta-e egyáltalán a Gödel-tétel a matematikát?

Ha a Gödel-tétel nem érintett volna olyan alapvető állításokat, mint a kontinuum-hipotézis, akkor nem lett volna érdekes. Így azonban ez a válság valóban megrázta a matematikát. Ugyanakkor általában nem rázta meg a matematikusokat…

S. M.

Így aztán a matematika tovább fejlődött a maga útján, s benne egyre több részterület jött létre. A részterületek sokasodásával pedig eltűntek azok a 18. századi típusú matematikusok, akiknek még fejükben volt egész tudományuk minden tétele, azok bizonyításai, a bizonyítások összes lépései. Ráadásul a 20. század során egyre hosszabb és hosszabb bizonyítások keletkeztek. Mostanra pedig eljutottunk odáig, hogy számos bizonyítás olyannyira átláthatatlanul hosszú, hogy talán nincs is az a matematikus – legyen az mégoly hozzáértő is –, aki minden részletével tisztában volna.
Azok számára, akik a matematikában a szép és áttekinthető bizonyításokat, a frappáns megoldásokat vagy a mély összefüggéseket keresték és szerették – mindazt, ami a matematikát részben játékká, részben művészetté teszi –, bizony csüggesztő lehet az irdatlan hosszúságú, csöppet sem elegáns bizonyítások térhódítása. Ez már nem az a tudomány, amely az ő elméjüket kielégítené. Éppannyira eltér tőle, mint a gyárilag előállított termék a kézműves egyedi alkotásától.
Az egyik legkirívóbb példa az „ipari méretű” matematikára a véges egyszerű csoportok osztályozása volt. (Hogy ez miféle válságot idézett elő, annak megértéséhez – ahogy Brian Davies írja – szerencsére még azt sem kell tudni, mi is az a véges egyszerű csoport).
A 70-es években száznál is több csoportelmélet-szakember fogott össze abból a célból, hogy az összes ilyen csoportot osztályozzák. Több mint tízéves munkával megszületett az összes véges egyszerű csoport teljes listája. A probléma ugyan néhány mondatban megfogalmazható, annak bizonyításához azonban, hogy az osztályozás teljes, már több mint tízezer oldalt kellene írni! A bizonyítás teljességében nem készült el – lehet, hogy nem is fog –, és ma úgy tűnik, soha senki sem fogja teljességében megérteni. Ráadásul az sem biztos, hogy az eredményben nem rejlenek hibák.
Szemben a Gödel-tétellel, amely inkább a matematikafilozófusok problematikájához tartozik hozzá, a bizonyítások egyre hosszabbá és bonyolultabbá válása ma is valódi terhet jelent a matematikusok számára: ez igazi húsbavágó kérdés, ugyanakkor kihívás is, amely a matematikát új paradigmákhoz vezetheti el.
Az egyik ilyen paradigma a matematika kollektív művelése:

Azt hiszem, könnyen bizonyítható tény, hogy a matematika egyre inkább közösségi tevékenységgé válik: szaporodnak a konferenciák, a társszerzős cikkek, internetes portálok egyes témákról stb. Ez olyan kutatásokra is áll, melyek esetén a végtermék ,,emberi” méretű, mondjuk 10-20 oldalas bizonyítás. A közös gondolkodás sokszor eredményesebb, mint a külön-külön végzett kutatás, és mivel sok minden jött létre, ami ezt lehetővé teszi – az interkontinentális repüléstől az Internetig –, az ebben rejlő lehetőségek kihasználása sokat lendíthet a matematikán.

Lovász László matematikus

Egy másik paradigma – pontosabban nem is paradigma, hanem a matematikai fejlődés egy mindenkori sajátossága – az egyszerűsödés. De hát eddig éppen arról volt szó, hogy a matematika egyre bonyolultabbá válik! Összességében igen, mégis létezik egy ellenmozgás, de nem a matematika egésze, hanem az egyes tételek szintjén:

A nagyon bonyolult és hosszú bizonyítások gyakran rövidülnek le az idők folyamán… Olyan ez, mint amikor a felfedező először talál egy csodálatos, drágakövekkel teli barlangot, amely szinte megközelíthetetlen – utána a feltaláló megalkot egy olyan eszközt, amellyel ez jól megközelíthetővé válik…

L. L.

A nyugtalanító csak az, hogy az említett „óriástétel” mintegy huszonöt éve csöppet sem akar egyszerűsödni. Lehet, hogy a bonyolultság ilyen magas fokán már nem olyan egyszerű az egyszerűsödés? Hiszen alapvetően az egyre mélyebb megértés vezethet oda, hogy egyre elegánsabb, tömörebb bizonyítások jöjjenek létre. A bizonyítás túlságosan hosszú volta viszont éppen a megértést gátolja – enélkül viszont nem lehet arra számítani, hogy a bizonyítás rövidüljön. E körkörös okság miatt épp a leghosszabb bizonyítások esetében a legvalószínűtlenebb, hogy azok valaha is egyszerűbbé váljanak.

Ezen a gondon segíthetne egy olyan intelligencia bevetése a matematikai bizonyításban, amelynek nincsenek az emberi értelemhez hasonló mennyiségi korlátai. Jöjjenek tehát a számítógépek, melyek néhány perc alatt annyi műveletet képesek elvégezni, amelyhez egy emberélet sem volna elegendő. Ezáltal sokkal egyszerűbbé teszik a matematikusok dolgát.
Vagy mégsem? Lehet, hogy maguk a számítógépek is hozzájárulnak a bonyolultság növekedéséhez? Abban a pillanatban igen, amikor a gép által szolgáltatott bizonyítást ellenőrizni is akarjuk. Hiszen ezek a bizonyítások általában szintén olyan hosszúak, hogy senki nem lenne képes azokat végig leellenőrizni.
Épp ezért a számítógép igazából megosztja a matematikusokat. Sokuk nem túlságosan szeret számítógéppel dolgozni, ismét csak a matematika szépségének feláldozásától való félelmében. Persze természetes, hogy mint mindenben, a matematikában is vannak hagyománykedvelők és modernek. A hagyománykedvelőket igencsak nyugtalanította a 70-es években az a tény, hogy egy híres 19. századi matematikai sejtést – a négyszín-sejtést – csak a számítógép segítségével lehetett bizonyítani.

De honnan is ered a négyszín-sejtés?

Francis Guthrie Dél-afrikai matematikus 1852-ben úgy próbálta meg kiszínezni Nagy-Britannia térképét, hogy az egymással szomszédos (közös határszakasszal is rendelkező) megyék különböző színűek legyenek. Eközben merült fel benne az a kérdés, hogy egy tetszőleges térkép kiszínezéséhez minimálisan hány színre van szükség. Azt, hogy három szín nem elegendő, hamar belátta; viszont úgy tapasztalta, hogy négy szín minden esetben elegendő. Ezt azonban sem neki nem sikerült bizonyítania, sem más matematikusoknak – egészen 1976-ig. Ekkor Kenneth Appel és Wolfgang Haken talált rá a bizonyításra. A probléma csupán az volt, hogy számos lehetséges elrendezést számítógéppel ellenőriztek.

Hová vezet mindez? – aggódtak a hagyománykedvelő matematikusok. Ráadásul akkoriban még problémát okozott magának a bizonyításnak az ellenőrzése is. Honnan lehetünk teljesen biztosak a gép hibátlan számításában, ha kézzel nem ellenőrizhető a bizonyítás minden egyes sora? – kérdezték. Ekkor ugyanis a ‘tiszta’ tételek még olyan bizonyításokkal rendelkeztek, amelyek támadhatatlanságáról teljes volt az egyetértés.
Nos, ezt a problémát Davies a jelen kor egyik komoly válságaként említi – de aktuális-e még egyáltalán?

A négyszín-tétel bizonyításával kapcsolatban az egyik fő aggály az volt, hogy nagyon kevés matematikusnak volt lehetősége arra, hogy ennyi gépidőt kapjon, ha mondjuk ellenőrizni akarta a részleteket. Ma már nehéz (legalábbis a kicsit is fejlett világban) olyan kutatót elképzelni, aki ne tudna egy gépet szerezni, amin egy programot akármilyen hosszan futtathat, ha akar. Így mára a számítógépes bizonyítások elfogadásával vagy el nem fogadásával kapcsolatos vitákon túllépett az idő.

L. L.

Másfelől viszont „annak ellenőrzése, hogy a számítógépes program korrektül dolgozott, még mindig nem triviális feladat”, ahogy Benczúr mondja.

Ha valaki ír egy nagy programot, nem lehet biztos benne, hogy nem hibázott a program írásakor. Teljes körűen egy nagy programot nem lehet tesztelni. Hamarosan meg fognak jelenni azok a programok, amelyek programokat készítenek. Hogyan lehet ellenőrizni ezek működésének helyességét? Ezek a kérdések nem elméletiek, hiszen egy bonyolult ipari berendezés biztonságát ugyanilyen eszközökkel vizsgálják.

Makai Mihály fizikus

A programhelyesség-ellenőrzés is új paradigma, legalábbis a matematikában, mivel a számítástechnikában már bevett módszer. Például a Windows XP a programelemző eszközöknek köszönhetően lett rendkívül megbízható. Ezek az eszközök a program-helyesség matematikáját használják, amelyet eredetileg a formális matematikai ellenőrzés céljára alkottak meg. Mégis, először nem a matematikában, hanem a programozásban bizonyították értékes voltukat. Ez pedig egyes informatikusokat arra bátorít, hogy megpróbálják ugyanezen módszereket a matematikában is alkalmazni – ez utóbbi terület azonban egyelőre még nem érett meg erre.
Egy további – és talán komolyabb – gond a számítógépes bizonyításokkal, hogy egyes matematikusok úgy gondolkoznak: nem az az érdekes, igaz-e egy tétel, hanem hogy miért igaz. Az olyan bizonyítás, amely nem jár együtt megértéssel, számukra érdektelennek bizonyul. Márpedig a számítógépek használatával ez a veszély fokozódik, mivel egy számítógépes bizonyítást egyszerűen nem lehet úgy átlátni, mint egy olyat, amelyet a matematikus „papíron”, lépésről lépésre vezet le. Vannak, akiket ez nem is zavar, mivel a használható eredmény fontosabb számukra, mint az, hogy értsék: hogyan jutott el ehhez az eredményhez a számítógép.
Általánosítva ezt a problémát, zavarhatja a matematikusokat, hogy tudományuk egyre távolabb kerül az emberi léptékektől, miközben…

…a matematika – mint minden tudomány – nagyon is emberi. Ezt jól mutatják az ilyesfajta kifakadások: „Undorral fordulok el ettől a fekélytől: függvények, amelyeknek nincs deriváltjuk.” „Cantor az ifjuság megrontója” – ez utóbbi Georg Cantor halmazelméleti gondolataira utal.
Senki sem mentes attól, hogy tíz ujja van, hogy elméjét az érzékszerveit érő benyomások alakították. A matematika alapjainak vizsgálatakor kiderül, hogy az összeadás és a szorzás műveletei másképpen is definiálhatók, amiből egy új algebra és analízis születhet. Ha valaki egy prímszámra gondol, aligha jut eszébe egy milliós számjegyű szám. A sort lehetne folytatni a véletlen jelenségekkel és más területekkel. Az is az antropomorf tudás korlátja, hogy egy bizonyítás nem lehet túl hosszú.

M. M.

Ugyanakkor a tudomány egyre inkább megpróbálja kiküszöbölni és túllépni az antropomorf tudás korlátait – elsősorban az új technikai eszközökkel. A számítógépek használatának éppoly sok hozama van a matematika számára – például a kísérleti matematika létrejötte –, mint amekkora problémát jelent – ha jelent egyáltalán:
 
Én nem vagyok pesszimista, úgy látom, a komputerek sok matematikus kezében is hasznos segédeszközök lettek, amelyekkel sok problémát megoldottak úgy, hogy a végén a kész eredményen már nem látszik a komputer segítsége… És nem hiszem igaznak, hogy egy komputeres bizonyítás semmiképpen sem segítheti az „emberi megértést”!

Wettl Ferenc matematikus

Miért nincs válságban a matematika? – A matematika sikere

Ahogy nőttön nőttek a matematika problémái a 20. század során, ahogy a matematika egyre inkább meghaladta az emberi felfogóképességet egyre szaporodó ágazataival, egyre hosszabbá váló bizonyításaival, paradox módon mégis egyre több emberi léptékkel is érzékelhető eredmény következett belőle. Ezekre az eredményekre a matematikusok többsége nem is törekedett, irántuk nem is túlzottan érdeklődött.
Itt elsősorban a tiszta matematika művelőiről van szó, és nem az alkalmazott matematikusokról. A tiszta matematikának nem célja semmiféle gyakorlati haszon, de még az sem, hogy például a fizikai világnak valamely törvényszerűségét megfejtse. Ezzel együtt…

…a matematika hihetetlen sikertörténet. Nem azért, mert 2×2 mindig 4, hanem mert sok lényeges kérdésünkre megadja a választ. Ha a matematika fogalmait használjuk, jól meg tudjuk mondani, mi történik. Géneket tudunk feltérképezni, rakétákat tudunk eljuttatni a megfelelő helyre… Kérdés, hogyan alakított ki a matematika ilyen fogalmakat, amelyek ennyire jól leírják a valóságot?
Ez azért is furcsa, mert egy matematikus egyszerre foglalkozik valami nagyon absztrakt dologgal, aminek semmi köze a valósághoz – és járul hozzá valamihez úgy, hogy nem is akar.

S. M.

A matematika művelése egy hamisítatlan, tiszta matematikus számára olyannyira öncél, ami kevés más emberi tevékenységhez hasonlítható. Mondhatni, a matematika az elme fényűzése. Minél igazibb matematikus valaki, annál kevésbé hajtják a matematika művelésén kívüli motivációk.
A matematika kiterjedt részei – mint például a számelmélet, a gráfelmélet vagy a topológia – úgymond „öncélúan” jöttek létre. Problémáiknak semmi közük nem volt az anyagi világhoz. Aztán egyre-másra derült ki ezekről az addig „improduktívnak” tartott irányokról, hogy nagyon is alkalmazhatók.

Godfrey Hardy, aki a prímszámok elméletének egyik legkiemelkedőbb kutatója volt a 20. század első felében, ezt írja Egy matematikus védekezése című könyvében:
Soha nem tettem semmi „hasznosat”. Semelyik felfedezésem sem volt közvetlenül vagy közvetve jó vagy rossz hatással a világ folyására, és nem valószínű, hogy valaha is hatással lesz… Az „igazi” matematikusok „igazi” matematikája, Fermat és Euler és Gauss és Abel és Riemann matematikája csaknem teljesen „haszontalan”.
Amikor az Interneten vásárolunk vagy bankügyeket intézünk, számítógépünknek több száz jegyű számokról kell eldöntenie, hogy prímszámok-e – tizedmásodpercek alatt. Ehhez a gép Fermat tételét használja. A különböző számítógépes protokollok, biztonsági módszerek a Hardy által felsorolt nagyságok szinte mindegyikének a munkájára építenek. Azt hiszem azonban, hogy ezek a tények Hardy kutatási elveit legalább annyira alátámasztják, mint amennyire az állításait cáfolják. Ha ezeket a nagyságokat csak kutatásuk közvetlen haszna motiválta volna és nem a matematikai kérdések szépsége, a megismerés vágya, akkor ma nem lennének eszközeink a számítógép-rendszerek biztonságának védelmére.

L. L.

Kimondható tehát, hogy a matematika – minden válsága ellenére – az emberi gondolkodás egyik legnagyobb és legrejtélyesebb sikertörténete. Így aztán, ha meg is dőlt az a lehetőség Gödellel, hogy bizonyítható a matematika minden tételének igazsága, a pragmatista igazság-meghatározásnak – hogy ’ami hasznos, az igaz is’ – a matematika kétségkívül megfelel. A matematika „működik”, ilyen értelemben igaz; s ha voltak is kisebb betegségei, ezeket legyűrte, vagy ha le nem gyűrte, hát akkor együtt él velük.